Material de Saint-Venant–Kirchhoff

El material de Saint-Venant–Kirchhoff és un model teòric de material àmpliament usat en moltes aplicacions ingenieriles. El material de Saint-Venant–Kirchhoff és el model de material hiperelástico més simple de material hiperelástico i isótropo. El seu principal residix que és un model asintòtic de chicotetes deformacions, és dir, qualsevol material elàstic somés a chicotetes deformacions, s'aproxima asintóticamente a este model. No obstant a grans deformacions té llimitacions tant teòriques com a pràctiques, ya que per eixemple a grans compressió el model és termodinámicamente incosistente en ser el seu potencial una funció convexa.

Relació entre tensió i deformació

L'equació constitutiva entre la tensió i la deformació té la forma:

a on:

$𝐒$, és el segon tensor de Piola-Kirchoff (que para chicotetes deformacions no diferix del tensor de tensions de Cauchy).

$𝐄$ és el tensor deformació infinitesimal linealizado de Green-Lagrange

$\lambda$ i $\mu$ són els coeficients de Lamé.

Les equacions anteriors poden ser derivades a partir del següent potencial o funció d'energia de deformació per a este model és:

Obtenint-se el tensor tensió (segon tensor de Piola-Kirchhoff) pot ser derivat de la relació:

Llimitacions teòriques

La potencial d'energia de deformació per a este model és una funció convexa, pero com J. Ball (1977) va demostrar esta situació no és físicament realista. Açò pot vore's directament considerant un problema de compressió unidimensional uniforme d'una peça recta l'equació constitutiva de la qual estiguera donada pel material de Saint Venant-Kirchhoff. Considere's que se somet dita barra a una acurtada:

a on $\Lambda$ és la relació entre la llongitut final (més chicoteta que l'inicial) i inicial. El gradient de deformació i el tensor de deformació de Green-Lagrange

A partir de la relació constitutiva i el gradient de deformació es pot calcular el tensor de tensions nominals (primer tensor de Piola-Kirchhoff) ve daus per:

Pot vore's que la tensió en la direcció de la barra sempre és negativa, pero no creix uniformemente a mida que la compressió imposta acurta la barra:

Ya que s'espera que en acurtar monòtonament la peça la tensió de compressió també creixca monòtonament s'aplega a un resultat anómal. De fet per a $\Lambda \approx 0,577\dots$ la tensió nominal alcança un mínim i a partir d'ahí escomença a créixer a pesar de que la peça seguix acurtant-se. Eixe resultat clarament no físic és lo que descalifica teòricament a este model per a modelizar compressió grans. No obstant, en la pràctica de l'ingenieria estructural açò no és molt important ya que les deformacions unitàries rarament ixen del ranc d'entre -0,01 i +0,01, a on les prediccions del model s'ajusten molt be a les senyes reals.