Matriu de cisallament

Archiu:Tenseur des contraintes generalise.png

Eixemple d'aplicació de la matriu de cisallament en resistència de materials, en les components del tensor de tensions en forma ortogonal

En geometria, una matriu de cisallament o matriu de tall, és un tipo de matriu elemental que implica la suma del múltiple d'una fila (o d'una columna) a una atra. Esta matriu es pot generar a partir de la matriu identitat, reemplaçant alguns elements nuls per un o més valors distints de zero (λ).

Una matriu de cisallament típica té la següent forma:

$S=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \lambda & 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

El nom de matriu de cisallament o de cort es referix al fet de que la matriu representa una transformació associada a una deformació lateral elàstica d'un objecte, similar a la que es produïx en una gaveta quan s'eixercix un esforç tangencial (o tallant) sobre dos de les seues cares opostes. Geomètricament, dita transformació relaciona linealmente (per mig d'una sola component) parells de punts que estan separats en la direcció de l'eix de cisallament, i relaciona parells de punts la separació dels quals no és purament axial per mig d'un desplaçament que té dos vectores components. Per lo tant, l'eix de cisallament és sempre un autovector de S.

Transformacions en el pla

T: R2 → R2

Cizallado horisontal:

T (x, i) = (x + λi, i)

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+\lambda y\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

Cizallado vertical: T (x, i) = (x, λx + i)

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ \lambda x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \lambda & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

Transformació 3D

Un eixemple de la matriu de tall 3D s'utilisa en resistència de materials, en el càlcul general de la tensió normal i de la tensió tallant:

$[T_C{]}_{xyz}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

Vore també

• Cisallament (geometria)
• Matriu de transformació

Bibliografia

• Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial . Ed. Mc Graw-Hill. 2005.

Carvalho, P.C.P. Introdução à geometria espacial”. Coleção Professor de Matemàtica. SBM, 2005.

• CROCOMO, M. K. Computação Gràfica - Notes Didáticas – Viewing”. USP – Universidade de São Paulo. ICMC – Institut de Ciências Matemàtiques i de Computação. São Carlos. 2010.
• DOLCE, O. & POMPEO, J. N. Geometria Espacial”. Ed. Atual. 2005.