Cisallament (geometria)

Mesh Shear 5/4

Cisallament horisontal d'un pla en coeficient m = 1.25. En blau el pla original; en vert, despuix del cisallament. El punt negre és l'orige

Archiu:Laminar shear es.svg

En dinàmica de decorreguts, un cisallament representa el curs del decorregut entre plaques paraleles en moviment relatiu

En geometria plana, un cisallament o mapage de cort és una aplicació llineal que desplaça cada punt en una direcció fixa, en una cantitat proporcional a la seua distancia orientada des de la llínea que és paralela a eixa direcció i pansa per l'orige. Este tipo d'aplicació també és coneguda com a transformació de tall, transvección, escalat direccional, estiramiento, extrusió o simplement cort.

Un eixemple és la transformació que pren qualsevol punt en coordenades $(x,y)$ en el punt $(x+2y,y)$. En este cas, el desplaçament és horisontal, la llínea fixa és l'eix horisontal, i la distància orientada és la coordenada $y$. Note's que els punts en costats oposts de la llínea de referència es desplacen en direccions també opostes.

No es deuen confondre els cisallaments en les rotacions. Despuix de transformar un conjunt de punts del pla per mig d'un cisallament canviaran els ànguls entre ells (llevat els ànguls rectes) i la llongitut de qualsevol segment de llínea que no siga paralel a la direcció del desplaçament. Per lo tant, generalment distorsionarà la forma d'una figura geomètrica, per eixemple, convertint quadrats en paralelogramos no quadrats, i círculs en elipses. No obstant, un tall conserva l'àrea de figures geomètriques i l'alliniació i les distàncies relatives dels punts colineales. En transformar lletres verticals per mig d'un cisallament s'obtenen lletres itálicas (bastardillas).

La mateixa definició s'usa en geometria tridimensional, excepto que la distància es medix des d'un pla fix. Una transformació de cort tridimensional conserva el volum de les figures sòlides, pero canvia les àrees de les figures planes (llevat les que són paraleles al desplaçament). Esta transformació s'utilisa per a descriure el fluix laminar d'un decorregut entre dos plaques paraleles, quan una d'elles es mou en un pla superior mantenint la seua distància sobre l'atra.

En general, en el pla cartesiano $n$-dimensional ${ℝ}^n$, la distància es medix des d'un hiperplano fix paralel a la direcció de desplaçament. Esta transmutació geomètrica és una transformació llineal de ${ℝ}^n$ que conserva la mida $n$-dimensional (hipervolumen) de qualsevol conjunt.

Definició

Cisalles horisontal i vertical del pla

Archiu:Academ Study about a periodic tiling by regular polygons.svg

Per mig de l'aplicació d'un cisallament codificat en gràfics vectorials escalables (SVG), un rectàngul es convertix en un paralelogramo

En el pla ${ℝ}^2=ℝ\times ℝ$, un mapage horisontal (o mapage paralel a l'eix $x$) és una funció que pren un punt genèric en coordenades ($(x,y)$ al punt $(x+my,y)$; $m$ és un paràmetro fix, denominat factor de cort.

L'efecte d'este mapage és desplaçar cada punt horisontalment en una cantitat proporcional a la seua coordenada $y$. Si $m>0$, qualsevol punt per damunt de l'eix $x$ es desplaça cap a la dreta, i, si $m<0$, es dirigix cap a l'esquerra. Punts baix de l'eix $x$ es mouen en la direcció oposta, i els punts en l'eix permaneixen fixos.

Les llínees rectes paraleles a l'eix $x$ permaneixen en el seu lloc, mentres que totes les demés llínees giren, en variats ànguls, sobre el punt a on creuen l'eix $x$. Les llínees verticals, en particular, es convertixen en llínees oblicuas en pendent $1/m$. Per lo tant, el factor de tall $m$ és la cotangente de l'àngul $\phi$. Este àngul $\phi$ determina l'inclinament de les llínees verticals. Se li denomina àngul de cort.

Si les coordenades d'un punt estan escrites com un vector de columna (una matriu 2 × 1), el mapage de cort es pot escriure com una multiplicació per una matriu 2 × 2:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+my\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

Un mapage de cort vertical (o tall paralel a l'eix vertical) de les llínees és similar, excepto que canvien els rols de $x$ i $y$:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ mx+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

El tall vertical desplaça punts a la dreta de l'eix vertical cap a dalt o cap a avall, segons el signe de $m$. Deixa invariantes les llínees verticals, pero inclina totes les demés llínees sobre el punt a on es troben en l'eix vertical. Les llínees horisontals, en particular, s'inclinen en àngul de tall $\phi$ i es convertixen en llínees en pendent $m$.

Mapages de cort generals

Per a un espai vectorial V i un subespacio W, un tall fix W trasllada als vectores en una direcció paralela a W.

Si V és la suma directa de W′ i W′, s'escriu la suma

v = w + w′

correspondientement. El típic tall fix W és L, a on

L(v) = (Mw + Mw′) = (w + Mw′)

a on M és un mapage llineal de W′ a W. Per lo tant, en térmens de matrius en bloc L es pot representar com

$\left(\begin{array}{cc}I& M\\ 0& I\end{array}\right)$

Aplicacions

William Kingdon Clifford va observar les següents aplicacions del cisallament:

«Una successió de cizallamaientos permetrà reduir qualsevol figura acotada per llínees rectes a un triàngul d'àrea equivalent.»

«... podem aplicar un cisallament a qualsevol triàngul per a convertir-ho en un triàngul rectàngul, i açò no alterarà la seua àrea. Per això l'àrea de qualsevol triàngul és la mitat de l'àrea del rectàngul en la seua mateixa base i en altura equivalent a la perpendicular en la base de l'àngul opost.»

La propietat que preserva l'àrea d'un cisallament es pot utilisar per a obtindre resultats relacionats en l'àrea. El teorema pitagórico i el teorema de la mija geomètrica han segut ilustrats per mig de mapages cisallaments.

Un algoritme per Alan W. Paeth usa una seqüència de tres cisallaments (horisontal, vertical, després horisontal una atra volta) para rotar una image digital segons un àngul arbitrari. Este algoritme és molt senzill d'implementar, i molt eficaç, ya que cada pas processa únicament una columna o una fila de píxels al mateix temps.

En l'invariancia galileana, les transformacions entre els marcs de referència són cisallaments denominats transformacions galileanas, que poden aparéixer ocasionalment quan es descriuen marcs de referència en moviment en relació en un marc «preferit», a voltes denominat temps i espai absoluts.

Vore també

• Funció distancia en signe
• Matriu de transformació
• Invariancia galileana
• Matriu de cisallament
• Teorema de la mija geomètrica
• Transformació de Galileo