Mida de Haar

En anàlisis matemàtic, la medida de Haar és una manera d'assignar un "volum invariante" als subconjunts de grups topològics localment compactes i de definir posteriorment una integral per a les funcions sobre eixos grups. Esta mida va ser introduïda per Alfred Haar, matemàtic hongarés, al voltant de l'any 1932. Vore també Dualitat de Pontryagin. Les mides de Haar s'utilisen en moltes parts de l'anàlisis i de la teoria de números.

Preliminars

Siga G un grup topològic localment compacte. En este artícul, la σ-àlgebra X generada per tots els subconjunts compactes de G es diu l'àlgebra de Borel. Un element de l'àlgebra de Borel es diu un conjunt de Borel (boreliano).

Si a és un element de G i S és un subconjunt de G, llavors definim el traslladat per l'esquerra i per la dreta de S com seguix:

• La translació esquerra:

$aS=\{a\cdot s:s\in S\}.$

• La translació dreta:

$Sa=\{s\cdot a:s\in S\}.$

Les translacions esquerra i dreta traslladen conjunts de Borel a conjunts de Borel.

Una mida μ en els subconjunts de Borel de G es diu invariante per translació esquerra si i només si para tots els subconjunts de Borel S de G i per a tota a en G es té

$\mu (aS)=\mu (S).$

Una definició similar es fa per a la invariancia per translació dreta.

Existència de la mida esquerra de Haar

Es verifica que hi ha, llevat una constant multiplicativa, només una mida regular invariante per translació esquerra en X que siga finita en tots els conjunts de Borel de G tals que el μ(O) > 0 per a qualsevol obert de Borel no buit O dau. Ací, es diu que μ és regular sii

• μ(K) és finita per a cada conjunt compacte K.

• Cada conjunt de Borel I és regular exterior:

$\mu (E)=\inf \{\mu (U):E\subseteq U,U\text{ abierto y Borel}\}.$

• Si I és de Borel, llavors I és regular interior:

$\mu (E)=\sup \{\mu (K):K\subseteq E,K\text{ compacto }\}.$

Observació. Observe's que en alguns casos patològics, un conjunt pot ser obert sense ser de Borel. Per esta raó, en la propietat de regularitat exterior, el ranc de l'ínfim s'establix específicament sobre conjunts que són oberts i de Borel. Estes patologies mai ocorren si G és un grup localment compacte la topología subjacent del qual és metrisable separable; observe's que en este cas l'estructura de Borel és aquella generada per tots els conjunts oberts.

Referències

• P. Halmos, teoria de la mida, D. van Nostrand i Co., 1950.