Model llineal generalisat

En estadística, el model llineal generalisat (GLM) és una generalisació flexible de la regressió llineal ordinària que permet variables de resposta que tenen models de distribució d'errors distints d'una distribució normal. El GLM generalisa la regressió llineal en permetre que el model llineal estiga relacionat en la variable de resposta a través d'una funció d'enllaç i en permetre que la magnitut de la varianza de cada medició siga una funció del seu valor predit.

John Nelder i Robert Wedderburn varen formular models llineals generalisats com una forma d'unificar atres models estadíticos, com la regressió llineal, la regressió llogística i la regressió de Poisson. Varen propondre un método de mínims quadrats iterativamente ponderats per a l'estimació de màxim verosimilitut dels paràmetros del model. L'estimació de màxim verosimilitut seguix sent popular i és el método predeterminat en molts paquets de computació estadística. S'han desenrollat atres enfocaments, inclosos els enfocaments bayesianos i els ajusts de mínims quadrats a les respostes estabilisades de la varianza.

Intuïció

La regressió llineal ordinària prediu el valor esperat d'una cantitat desconeguda donada (la variable de resposta, una variable aleatòria) com una combinació llineal d'un conjunt de valors observats (predictores). Açò implica que un canvi constant en un predictor conduïx a un canvi constant en la variable de resposta (és dir, un model de resposta llineal). Açò és apropiat quan la variable de resposta té una distribució normal (intuitivamente, quan una variable de resposta pot variar essencialment de modo indefinit en qualsevol direcció sense un "valor zero" fix o, més generalment, per a qualsevol cantitat que solament varia en una cantitat relativament chicoteta comparada en la variació en les variables predictives, per eixemple, l'altura humana).

No obstant, estos supòsits són inapropiats per a alguns tipos de variables de resposta. Per eixemple, en els casos en que s'espera que la variable de resposta siga sempre positiva i varie en un ampli ranc, els canvis constants d'entrada conduïxen a canvis en els resultats o eixides que presenten variacions geomètriques (és dir, exponencials) en lloc de variacions constants. Com a eixemple, suponga's que un model de predicció deprén a partir de certes senyes (possiblement arreplegats de grans plages) que una disminució de 10 graus en la temperatura du a una disminució de 1000 persones que visiten la plaja. És poc provable que este model es puga generalisar be a plages de diferents tamanys. Més específicament, el problema és que si s'utilisa este model per a predir l'assistència que hi haurà en una disminució de la temperatura de 10 graus en una plaja que normalment rep 50 persones, es pronosticarà una assistència en l'impossible valor de -950 persones. De manera llògica, un model més realiste deuria pronosticar una taxa constant d'increment de l'assistència a la plaja (en que, per eixemple, un increment de 10 graus provoca una duplicació de la cantitat de visitants, i una disminució de 10 graus du a una reducció a la mitat de l'assistència). Dit model es denomina model de resposta exponencial (o model log-llineal, ya que lo que es prediu és que el logaritmo de la resposta variarà linealmente).

De manera similar, un model que pronostique la provabilitat d'elegir entre sí/no (una variable de Bernoulli) és inclús menys apropiat en tant model de resposta llineal, ya que les provabilitats estan llimitades en abdós extrems (deuen estar entre 0 i 1). Cal imaginar, per eixemple, un model que pronostique la provabilitat de que una persona determinada vaja a la plaja en funció de la temperatura. Un model raonable podria predir, per eixemple, que un canvi en 10 graus fa que una persona tinga el doble de provabilitats d'anar o no anar a la plaja. Pero, ¿qué significa "el doble" en térmens de provabilitat? No pot significar lliteralment duplicar el valor de provabilitat (per eixemple, 50% es convertix en 100%, 75% es convertix en 150%, etc.). Més be, és la raó d'oportunitats la que es duplica: d'una raó d'oportunitats 2:1, a una raó d'oportunitats 4:1, a una raó d'oportunitats 8: 1, etc. Tal model és un log-odds o un model llogístic.

Els models llineals generalisats cobrixen totes estes situacions en permetre variables de resposta que tenen distribucions arbitràries (en lloc de tindre simplement distribucions normals), i que una funció arbitrària de la variable de resposta (la funció d'enllaç) varie linealmente en els valors predits. Per eixemple, en el cas anterior, el número pronosticat d'assistents a la plaja es modelaria corrientemente en una distribució de Poisson i una funció de enllaç log, mentres que el cas de la provabilitat pronosticada d'assistència a la plaja es modelaria habitualment en una distribució de Bernoulli (o distribució binomial, depenent exactament de cóm s'expressa el problema) i una funció d'enllaç log-odds (o logit).

Introducció

En un model llineal generalisat (GLM), se supon que cada resultat I de les variables depenents es genera a partir d'una distribució particular en la família exponencial, una classe numerosa de distribucions de provabilitat que inclou les distribucions normal, binomial, Poisson i gamma, entre unes atres. La mija, μ, de la distribució depén de les variables independents, X, per mig de:

a on

$𝔼(𝐘)$ és el valor esperat de $𝐘$;

$𝐗𝜷$ és el «predictor llineal», una combinació llineal de paràmetros desconeguts $𝜷$;

$g$ és la funció d'enllaç.

En esta notació, la varianza és típicament una funció $𝐕$ de la mija:

És convenient si V seguix la distribució de la família exponencial, pero pot ser simplement que la varianza siga una funció del valor predit.

Els paràmetros desconeguts, β, se solen calcular en tècniques de màxim verosimilitut, màxima cuasiverosimilitud o bayesianas.

Vore també

• • Comparison of general and generalized linear models
  • Generalized linear array model
  • Tweedie distributions
  • GLIM (software)
  • Natural exponential familyVector gen
  • Veralized linear model (VGLM)
  • Quasi-variance