Modo normal

Archiu:1D normal modes (280 kB).gif

Varis modos normals d'una ret unidimensional.

Un modo normal d'un sistema oscilatori és un patró de moviment en el qual tots els seus components oscilen en forma senoidal en la mateixa freqüència i una relació constant entre les seues fases. Normalment existix un conjunt discret de freqüències característiques del sistema, denominades freqüències naturals o freqüències resonantes. Un objecte físic, tal com un edifici, un pont, o una molècula; tenen un conjunt de modos normals, cada u en la seua freqüència característica, que depenen de la seua estructura, materials i condicions de contorn.

És usual utilisar un sistema format per masses i resorts per a ilustrar el comportament d'una estructura deformable. Quan este tipo de sistema és excitat en una de les seues freqüències naturals, totes les masses es mouen en la mateixa freqüència. Les fases de les masses són exactament les mateixes o exactament les contràries. El significat pràctic pot ser ilustrat per mig d'un model de massa i resort d'un edifici. Si un terremot excita al sistema en una freqüència pròxima a una de les freqüències naturals el desplaçament d'un pis (nivell) respecte d'un atre serà màxim. Òbviament, els edificis solament poden soportar desplaçaments de fins a una certa magnitut. Ser capaç de representar un edifici i trobar els seus modos normals és una forma fàcil de verificar si el disseny de l'edifici és segur. El concepte de modos normals també és aplicable en teoria ondulatoria, òptica i mecànica quàntica.

Eixemple - modos normals d'osciladors acoplats

Sean dos cossos (no afectats per la gravetat), cada u d'ells de massa M, vinculats a tres resorts en constant característica K. Els mateixos es troben vinculats de la següent manera:

Archiu:Two masses.png

a on els punts en abdós extrems estan fixos i no es poden desplaçar. S'utilisa la variable x₁(t) per a identificar el desplaçament de la massa de l'esquerra, i x₂(t) per a identificar el desplaçament de la massa de la dreta.

Si s'indica la derivada segona de x(t) sobre el temps com a x″, les equacions de moviments són:

$M{x_1}^{″}=-K(x_1)-K(x_1-x_2)$

$M{x_2}^{″}=-K(x_2)-K(x_2-x_1)$

Es prova una solució del tipo:

$x_1(t)=A_1{e}^{i\omega t}$

$x_2(t)=A_2{e}^{i\omega t}$

Substituint estes en les equacions de moviment s'obté:

$-{\omega }^{2}M{A}_1{e}^{i\omega t}=-2K{A}_1{e}^{i\omega t}+K{A}_2{e}^{i\omega t}$

$-{\omega }^{2}M{A}_2{e}^{i\omega t}=K{A}_1{e}^{i\omega t}-2K{A}_2{e}^{i\omega t}$

ya que el factor exponencial és comú a tots els térmens, es pot ometre i simplificar l'expressió:

$({\omega }^{2}M-2K)A_1+K{A}_2=0$

$K{A}_1+({\omega }^{2}M-2K)A_2=0$

Lo que en notació matricial és:

$\left[\begin{array}{cc}{\omega }^{2}M-2K& K\\ K& {\omega }^{2}M-2K\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)=0$

Per a que esta equació tinga més solució que la solució trivial, la matriu de l'esquerra deu ser singular, per lo tant el determinant de la matriu deu ser igual a zero, per lo tant:

$({\omega }^{2}M-2K{)}^2-K^2=0$

Resolent per a $\omega$, existixen dos solucions:

${\omega }_1=\sqrt{\frac{K}{M}}$ ,

${\omega }_2=\sqrt{\frac{3K}{M}}$ ,

Si es substituye ${\omega }_1$ en la matriu i es resol para ($A_1,A_2$), s'obté (1, 1). Si es substituye ${\omega }_2$, s'obté (1, -1). (Estos vectores són autovectores (o eigenvectors), i les freqüències es denominen autovalores, (o eigenvalues).)

El primer modo normal és:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)$

i el segon modo normal és:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)=c_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\cos ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2)$

La solució general és una superposició dels modos normals a on c₁, c₂, φ₁, i φ₂, són determinats per les condicions inicials del problema.

El procés demostrat ací pot ser generalisat utilisant el formalisme de la mecànica lagrangiana o el de la mecànica hamiltoniana.

Ones estacionarias

Una ona estacionaria és una forma contínua de modo normal. En una ona estacionaria, tots els elements de l'espai (o siga les coordenades (x,i,z)) oscilen en la mateixa freqüència i en fase (alcançant el punt d'equilibri juntes), pero cada una d'elles en una amplitut diferent.

La forma general d'una ona estacionaria és:

$\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t))$

a on f(x, i, z) representen la dependència de l'amplitut en la posició i el sen i coseno són les oscilacions en el transcurs del temps.

Archiu:Standing wave 2.gif

Ona estacionaria generada per la superposició (suma) de dos ones viageres. S'observa l'ona estacionaria en color negre, l'ona de color celest es desplaça cap a la dreta, mentres que l'ona de color roig es desplaça cap a l'esquerra. En cada punt i instant de temps l'ona negra s'obté sumant els valors de desplaçament en eixa posició i eixe instant de temps.

En térmens físics, les ones estacionarias són produïdes per l'interferència (superposició) d'ones i les seues reflexions (a pesar de que també és possible dir justament lo opost; que una ona viagera és una superposició d'ones estacionarias). La forma geomètrica del mig determina com serà el patró d'interferència, o siga determina la forma f(x, i, z) de l'ona estacionaria. Esta dependència en l'espai és cridada un modo normal.

Usualment, en problemes en dependència contínua de (x,i,z) no existix un número determinat de modos normals, en canvi existix un número infinit de modos normals. Si el problema està acotat (o siga està definit en una porció restringida de l'espai) existix un número discret infinit de modos normals (usualment numerats n = 1,2,3,...). Si el problema no està acotat, existix un espectre continu de modos normals.

Les freqüències permeses depenen dels modos normals com també de les constants físiques del problema (densitat, tensió, pressió, etc.) lo que determina la velocitat de fase de l'ona. El ranc de totes les freqüències normals és per lo general cridat l'espectre de freqüències. Per lo general, cada freqüència està modulada per l'amplitut a la qual s'ha generat, donant lloc a un gràfic del espectre de potència de les oscilacions.

En l'àmbit de la música, els modos normals de vibració dels instruments (cordes, vents, percussió, etc.) són cridats "harmònics".