Número normal
En matemàtiques, un número normal és un número real les sifres del qual en qualsevol base seguixen una distribució uniforme, sent totes les sifres igualment provables, aixina com tots els parells, trios, etc. Les sifres d'eixe número són tant les de la seua part sancera com la successió infinita de dígits que hi ha darrere de la menge o part fraccionaria.
Definició
[editar | editar còdic]Siga b > 1 un número entero i x un número real. Considerem la successió de sifres de x en la base de numeració b. Si s és una successió finita de sifres en base b, escriurem N(s, n) per a expressar el número d'aparicions de la successió s entre les n primeres sifres de x. El número x es considera normal en base b (b-normal) si
per a cada successió s de llongitut k. Expressat en paraules, la provabilitat de trobar la successió s entre les sifres de x és precisament l'esperada si la successió de sifres ha segut produïda completament de forma aleatòria. El número x és un número normal (o un número absolutament normal) si és normal en qualsevol base b.
El concepte va ser introduït pel matemàtic francés Émile Borel en 1909. Per mig del lema de Borel-Cantelli, va demostrar la teorema del número normal: casi tots els número real són normals, en el sentit de que el conjunt de números no normals té una mida de Lebesgue igual a zero. Esta teorema establix l'existència dels números normals, pero no és constructiu.
Encara que el conjunt de números no normals és "menut" en el sentit de que la seua mida de Lebesgue és 0, també és "gran" per ser un conjunt no numerable. Açò és fàcil de demostrar, ya que un número que no continga una determinada sifra (com pot ser el 5) en el seu desenroll decimal (i hi ha un número incontable d'ells) no pot ser normal.
Eixemples
[editar | editar còdic]Segons la definició, en el sistema binario, les sifres 0 i 1 d'un número normal apareixen en freqüència 1⁄2., les successions finitas de dos sifres 00, 01, 10 i 11 apareixen en freqüència 1⁄4, les successions de tres sifres 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 i 111 apareixen en freqüència 1⁄8, etc. Aixina, el número 0,101010101... no és normal perque, encara que el 0 i l'1 apareixen en la freqüència esperada, no existixen les seqüències 00 i 11, i les seqüències 01 i 10 tenen cada una freqüència d'aparició de 1⁄2, el doble de l'esperada.
Cap número racional és normal en cap base. Açò és aixina perque el seu desenroll decimal és periòdic a partir de certa posició. L'eixemple anterior de 0,101010101... és un número racional que equival a 2⁄3 en el sistema decimal.
- 0,1234567891011121314151617...,
que conté en el seu desenroll decimal la concatenació de tots els número natural ordenats, és normal en base 10, pero podria no ser-ho en atres bases.
La constant de Copeland–Erdős,
- 0.235711131719232931374143...,
que conté la concatenació dels número primo en base 10 també és normal en base 10.
- Wacław Sierpiński va ser el primer en construir explícitament un número normal en 1917. Un número normal calculable va ser construït per Verónica Becher i Santiago Figueira; un eixemple de número normal no calculable és el dau per la constant de Chaitin .
Els números de Stoneham són un conjunt infinit i numerable de números b-normals.
És extremadament difícil demostrar la normalitat de números que no han segut construïts de forma explícita. Per eixemple, no se sap si √2, π, ln(2) o i són normals, pero, conforme a l'experiència, es conjectura que tots ells ho són. David H. Bailey i Richard E. Crandall conjeturaron en 2001 que tot número algebraico irracional és normal; encara que no es coneix cap contraeixemple, tampoc es coneix un sol cas d'número algebraico que siga normal en alguna base.
Normalitat del número π
[editar | editar còdic]La següent taula mostra l'aparent 10-normalitat de les sifres de :
Seqüència Ocurrències Seqüència Ocurrències Seqüència Ocurrències 0 99 993 942 00 10 004 524 000 1 000 897 1 99 997 334 01 9 998 250 001 1 000 758 2 100 002 410 02 9 999 222 002 1 000 447 3 99 986 911 03 10 000 290 003 1 001 566 4 100 011 958 04 10 000 613 004 1 000 741 5 99 998 885 05 10 002 048 005 1 002 881 6 100 010 387 06 9 995 451 006 999 294 7 99 996 061 07 9 993 703 007 998 919 8 100 001 839 08 10 000 565 008 999 962 9 100 000 273 09 9 999 276 009 999 059 __ __ 10 9 997 289 010 998 884 __ __ 11 9 997 964 011 1 001 188 __ __ ... ... ... ... __ __ 99 10 003 709 099 999 201 __ __ __ __ ... ... __ __ __ __ 999 1 000 905 Total 1000 000 000 Total 1000 000 000 Total 1000 000 000
No obstant, fins a la data, no existix cap demostració formal de que efectivament siga un número normal.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Número normal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.