N-flake

Un n-flake (en espanyol n-cope, per la seua semblança en els copos de neu) és un fractal construït a partir d'un polígon que es reemplaça per uns copos formats per polígons més menuts, de modo que els polígons escalats es coloquen en els vèrtiços, i a voltes en el centre. Este procés es repetix recursivamente per a donar com resultat el fractal. Per lo general, també existix la restricció de que els polígons deuen tocar-se pero no solaparse.

En dos dimensions

La varietat més comuna d'un n-flake és el bidimensional (en térmens del seu dimensió topològica) i està formada per polígons. Els quatre casos especials més comuns es formen en triànguls, quadrats, pentàgons i hexàgons, pero es pot estendre a qualsevol polígon. El seu llímit és la curva de von Koch de diferents tipos, depenent del polígon, i infinitament moltes curves de Koch estan contingudes dins. Els fractales ocupen un àrea zero pero tenen un perímetro infinit.

Polígon de Sierpinski

El principi general de construcció d'un polígon de Sierpinski és el següent. És possible generar atres tipos de fractales, l'idea és començar en un polígon normal de n costats, després escalar el polígon per un factor r per a que n copies del polígon escalat encaixen exactament dins del polígon original.

Estos diversos fractales poden, per supost, generalisar-se a qualsevol polígon convexo regular; el polígon de Sierpinski d'orde n, centrat en el vèrtiç d'un polígon convexo regular d'orde n.

La fòrmula del factor d'escala r per a qualsevol n-flake és:

$r=\frac{1}{2(1+\sum _{k=1}^{\lfloor n/4\rfloor }\cos \frac{2\pi k}{n})}$

a on el coseno s'evalua en radianes i n és el número de costats del polígon de n costats. La dimensió de Hausdorff d'un n-flake és $\frac{\log m}{\log r}$, a on m és el número de polígons en cada flake individual i r és el factor d'escala.

Esta fòrmula s'elegix per a que s'unixquen les n imàgens del polígon de partida complet.

Els 4 fractales més famosos són el triàngul (o tamís), el quadrat (o estora, estora, mantel individual), el pentàgon i l'hexàgon de Sierpinski.

Triàngul de Sierpinski

El triàngul de Sierpinski és un n-flake format per flakes successius de tres triànguls. Cada flake es forma colocant triànguls a escala d'1/2 en cada cantó del triàngul que reemplacen. El seu dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (3)}{\log (2)}$ ≈ 1.585. El $\frac{\log (3)}{\log (2)}$ s'obté perque cada iteración té 3 triànguls que estan escalats per 1/2.

Archiu:Triangulo de Sierpinky.png

Triàngul de Sierpinki

El triàngul de Sierpinski té un víncul inesperat en el triàngul de Pascal, si coloreas els número impar en el triàngul de Pascal, voràs el triàngul de Sierpinski. que es visualisa en la figura a continuació:

Pascal-Sierpinsky

Fractal de Vicsek

Si es construïra un sierpinski 4-gon (polígon de 4 costats) a partir de la definició donada, el factor d'escala seria 1/2 i el fractal seria simplement un quadrat. Una alternativa més interessant, el fractal de Vicsek, rarament cridat quadraflake, està format per flakes successius de cinc quadrats escalats per 1/3. Cada escama es forma colocant un quadrat escalat en cada cantó i un en el centre o un a cada costat del quadrat i un atre en el centre. El seu dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (5)}{\log (3)}$ ≈ 1.4650. El $\frac{\log (5)}{\log (3)}$ s'obté perque cada iteración té 5 quadrats que estan escalats per 1/3. El llímit de Vicsek Fractal és una curva quadrada de Koch tipo 1.

• La quinta iteración del fractal de Vicsek.
  La quinta iteración del fractal de Vicsek.

Pentaflake

Archiu:ZoomingpentaKoch.gif

Llímit del pentaflake.

Un pentaflake, o pentàgon de Sierpinski, està format per successius flakes de sis pentàgons regulars.

Cada flake es forma colocant un pentàgon en cada cantó i un en el centre. El seu dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (6)}{\log (1+\phi )}$ ≈ 1.8617, a on $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (proporció áurea). El $\frac{\log (6)}{\log (1+\phi )}$ s'obté perque cada iteración té 6 pentàgons escalats per $\frac{1}{1+\phi }$. El llímit d'un pentaflake és la curva de Koch de 72 graus.

També hi ha una variació del pentaflake que no té un pentàgon central. El seu dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (5)}{\log (1+\phi )}$ ≈ 1.6723. Esta variació conté infinitament moltes curves de Koch, per esta raó són alguna cosa més visibles.

• 1ra iteración, en Pentàgons Centrals
  1ra iteración, en Pentàgons Centrals
• 3ra iteración, en Pentàgons Centrals
  3ra iteración, en Pentàgons Centrals
• 4ta iteración, en Pentàgons Centrals
  4ta iteración, en Pentàgons Centrals
• 5ta iteración, en Pentàgons Centrals
  5ta iteración, en Pentàgons Centrals

• 2dona iteración, sense Pentàgons Centrals
  2dona iteración, sense Pentàgons Centrals
• 3ra iteración, sense Pentàgons Centrals
  3ra iteración, sense Pentàgons Centrals
• 4ta iteración, sense Pentàgons Centrals
  4ta iteración, sense Pentàgons Centrals
• 5ta iteración, sense Pentàgons Centrals
  5ta iteración, sense Pentàgons Centrals

Hexaflake

Artícul principal → Hexacopo.

Un hexaflake està format per successius flakes de sèt hexàgons regulars. Cada flake es forma colocant un hexàgon escalat en cada cantó i un en el centre. El seu dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (7)}{\log (3)}$ ≈ 1.7712. El $\frac{\log (7)}{\log (3)}$ s'obté perque cada iteración té 7 hexàgons que estan escalats per 1/3. El llímit d'un hexaflake és la curva de Koch estàndar de 60 graus i infinitament molts Copos de neu de Koch estan continguts dins. Ademés, la proyecció de la gaveta de Cantor sobre el pla ortogonalmente a la seua diagonal principal és un hexaflake.

Com el pentaflake, també hi ha una variació del hexaflake, cridat hexàgon de Sierpinski, que no té hexàgon central. La seua dimensió Hausdorff és igual a

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$ ≈ 1.6309. Esta variació encara conté infinites curves de Koch de 60 graus.

• Hexaflake.
  Hexaflake.
• La sexta iteración del hexaflake.
  La sexta iteración del hexaflake.
• Quarta iteración de l'hexàgon de Sierpinski.
  Quarta iteración de l'hexàgon de Sierpinski.
• Proyecció ortogonal de la gaveta de Cantor mostrant un hexaflake.
  Proyecció ortogonal de la gaveta de Cantor mostrant un hexaflake.

Poliflake

Archiu:N-flakes without centers.png

Taula d'imàgens de n-flakes (sense polígon central) costats 3 a 10 i ordenes 0 a 4 (fer clic o tocar per a ampliar).

Archiu:N-flakes with centers.png

Taula d'imàgens de n-flakes (en polígon central) costats 3 a 10 i ordenes 0 a 4 (fer clic o tocar per a ampliar)..

També existixen els n- flake de polígons superiors, encara que són menys comuns i generalment no tenen un polígon central. Alguns eixemples es mostren a continuació; el flake de 7 flake a través de 12 flakes. Si ben pugues no ser obvi, estos poliflakes superiors encara contenen infinites curves de Koch, pero l'àngul de les curves de Koch disminuïx a mida que n aumenta. Les seues dimensions de Hausdorff són una miqueta més difícils de calcular que els n- flakes més baixos perque el seu factor d'escala és menys obvi. No obstant, la dimensió de Hausdorff és sempre menys de dos, pero no menys d'un. Un n- flake interessant és el ∞-flake, perque a mida que el valor de n aumenta, la dimensió de Hausdorff d'un n- flake s'aproxima a 1.

• The first four iterations of the heptaflake or 7-flake.
  The first four iterations of the heptaflake or 7-flake.
• The first four iterations of the octoflake or 8-flake.
  The first four iterations of the octoflake or 8-flake.
• The first four iterations of the enneaflake or 9-flake.
  The first four iterations of the enneaflake or 9-flake.
• The first four iterations of the decaflake or 10-flake.
  The first four iterations of the decaflake or 10-flake.
• The first four iterations of the hendecaflake or 11-flake.
  The first four iterations of the hendecaflake or 11-flake.
• The first four iterations of the dodecaflake or 12-flake.
  The first four iterations of the dodecaflake or 12-flake.

En tres dimensions

Els n-flakes es poden generalisar a dimensions més altes, en particular a una dimensió topològica de tres. En lloc de polígons, els poliedres regulars es reemplacen iterativament. No obstant, encara que hi ha un número infinit de polígons regulars, solament hi ha cinc poliedres convexos regulars. Per açò, els n-flake tridimensionals també es diuen fractales sòlits platònics. En tres dimensions, el volum dels fractales és zero.

Tetraedre de Sierpinski

Un tetraedre de Sierpinski està format per flakes successives de quatre tetraedres regulars. Cada flake es forma colocant un tetraedre a escala per 1/2 en cada cantó. La seua dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (4)}{\log (2)}$, que és exactament igual a 2. En cada cara hi ha un triàngul de Sierpinski i infinitament molts estan continguts dins.

• La tercera iteración del tetraedre de Sierpinski.
  La tercera iteración del tetraedre de Sierpinski.

Flake del Hexaedro

Un hexaedro, o gaveta, és un flake definit de la mateixa manera que el tetraedre de Sierpinski és simplement una gaveta i no és interessant com un fractal. No obstant, hi ha dos alternatives interessants. Un és l'Esponja de Menger, en la que cada gaveta es reemplaça per un anell tridimensional de gavetes La seua dimensió Hausdorff és $\frac{\log (20)}{\log (3)}$ ≈ 2.7268.

Es pot produir un atre flake del hexaedro de forma similar al fractal de Vicsek estés a tres dimensions. Cada gaveta es dividix en 27 gavetes més chicotetes i es conserven les creus centrals de la gaveta, que és lo opost a l'Esponja de Menger a on es lleva la creu. No obstant, no és el complement esponja de Menger. La seua dimensió Hausdorff és $\frac{\log (7)}{\log (3)}$ ≈ 1.7712, perque una creu de 7 gavetes, cada u escalat per 1/3, reemplaça a cada gaveta.

• La quarta iteración de l'esponja de Menger.
  La quarta iteración de l'esponja de Menger.
• Tercera iteración del fractal Vicsek per a tres dimensions.
  Tercera iteración del fractal Vicsek per a tres dimensions.

Flake de l'Octaedre

Un flake de l'octaedre o octaedre de Sierpinski, està format per flakes successius de sis octaedres regulars. Cada flake es forma colocant un octaedre a escala per 1/2 en cada cantó. La seua dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (6)}{\log (2)}$ ≈ 2.5849. En cada cara hi ha un triàngul de Sierpinski i infinitament molts estan continguts dins.

• La tercera iteración del flake de l'octaedre.
  La tercera iteración del flake de l'octaedre.

Flake del Dodecaedre

Un flake del dodecaedre, o dodecaedre de Sierpinski, està formada per flakes successius de vint dodecaedres regulars. Cada flake es forma colocant un dodecaedre escalat per $\frac{1}{2+\phi }$ en cada cantó. La seua dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (20)}{\log (2+\phi )}$ ≈ 2.3296.

• La segona iteración del flake del dodecaedre.
  La segona iteración del flake del dodecaedre.

Flake de l'Icosaedre

Un flake de l'icosaedre, o icosaedre de Sierpinski, està formada per flakes successius de dotze icosaedres regulars. Cada flake es forma colocant un icosaedre a escala de $\frac{1}{1+\phi }$ en cada cantó. La seua dimensió Hausdorff és igual a $\frac{\log (12)}{\log (1+\phi )}$ ≈ 2.5819.

• La tercera iteración del flake de l'icosaedre.
  La tercera iteración del flake de l'icosaedre.