Norma ultramétrica

En matemàtiques, una norma ultramétrica, també cridada no arquimediana, és un norma (en un K-espai vectorial, a on K és un cos valorat, en el sentit de que està equipat en un valor absolut en sí ultramétrico) que verifica una condició més forta que la desigualtat triangular, a saber:

$\Vert a+b\Vert \le \max (\Vert a\Vert ,\Vert b\Vert ).$

Esta condició pot ser fàcilment generalisada per recurrencia, per a afirmar que la norma d'una suma s'incrementa en el màxim de les normes dels térmens.

En concret, esta condició més forta fa que un cert número de resultats que no són vàlits en el marc general siguen verdaders, en particular:

• la distància associada és ultramétrica, llavors:
  • cada punt d'una bola està en el centre; les boles són obertes i tancades; dos boles estan desarticulades o incloses una en l'atra;
  • qualsevol triàngul és isósceles i la seua base és com a màxim igual als costats iguals;
• $\Vert a\Vert \ne \Vert b\Vert \Rightarrow \Vert a+b\Vert =\max (\Vert a\Vert ,\Vert b\Vert );$

• en un espai ultramétrico complet, una série convergix si i solament si el seu terme general tendix cap a 0;
• en un espai ultramétrico, la bola unitària té l'estructura d'un anell.

En qualsevol cos proveït d'un valor absolut ultramétrico, vist com un espai vectorial en sí mateixa, este valor absolut és una norma ultramétrica.

Vore també

• Anàlisis p-ádico