Ona elàstica

Una ona elàstica és un destorbament tensional que es propaga a lo llarc d'un mig elàstic. Per eixemple, les ones sísmiques són un tipo d'ones elàstiques que ocasionen tremolació que poden tractar-se com a ones elàstiques que es propaguen pel terreny. Totes les ones elàstiques són un tipo d'ona mecànica.

Cas isótropo llineal

Equació de moviment

En un mig elàstic isótropo i llineals no somés a forces de volum, la equació de moviment d'una ona elàstica que relaciona la velocitat de propagació en les tensions existents en el mig elàstic vénen donades, usant el conveni de sumación d'Einstein, per:

A on ___MATH_0___ és la densitat i el terme entre paréntesis del segon terme coincidix en l'acceleració o derivada segona del desplaçament. Si el mig és isótropo, reescrivint l'equació anterior en térmens dels desplaçaments produïts per l'ona elàstica, per mig de les equacions de Lamé-Hooke i les relacions del tensor deformació en el vector desplaçament, tenim:

Que escrita en la forma vectorial convencional resulta:

Tipos d'ones

Ones planes

Artícul principal → Ona plana.

En general una ona elàstica pot ser una combinació d'ones llongitudinals i d'ones travesseres. Una manera simple de demostrar açò considerar la propagació d'ones planes en les que el vector de desplaçaments provocats pel pas de l'ona té la forma ___MATH_1___. En este cas l'equació (2b) es reduïx per a una ona plana a:

En les equacions anteriors la component X és una ona llongitudinal que es propaga en velocitat ___MATH_2___ mentres que la component en les atres dos direccions és travessera i es propaga en velocitat ___MATH_3___:

A on la velocitat de l'ona llongitudinal i de l'ona travessera vénen donades per:

Sent:

___MATH_4___, el mòdul de Young i el coeficient de Poisson, respectivament.

La següent taula dona les velocitats de propagació de les ones llongitudinals i transversal en diferents materials:

Material	vL [m/s]	vT [m/s]
Alumini	6,32·103	3,07·103
Coure	4,36·103	2,13·103
Ferro	5,80·103	3,14·103

Ones P i S

Una descomposició més general d'una ona elàstica que respon a l'equació (2b) és la descomposició de Helmholtz para camps vectorials, en una component llongitudinal a lo llarc de la direcció del recorregut de la propagació i una ona travessera a la mateixa. Estes dos components es diuen usualment component P (ona P o primària) i component S (ona S o secundària).

Per a vore açò es definix els potencials de Helmholtz del camp de desplaçament:

Ones de Rayleigh

Archiu:Rayleigh wave.jpg

Image d'ones Rayleigh.

Les ones de Rayleigh són ones superficials elíptiques, que són una solució de l'equació (2b), que la seua amplitut disminuïx exponencialment en la profunditat. Un model simple d'ones de Rayleigh és que es dona en un mig elàstic semi-infinit, que podria representar el terreny. En térmens dels potencials elàstics, este tipo d'ones tenen la forma matemàtica:

Sent:

___MATH_5___, les amplitut d'abdós potencials.

___MATH_6___, la freqüència angular i la velocitat de propagació de les ones Rayleigh. Esta velocitat satisfà l'anomenada condició de Rayleigh, que té una única solució real:

___MATH_7___, són la profunditat i la distància a lo llarc d'un tall vertical de terreny.

___MATH_8___, són dos paràmetros d'atenuació en la profunditat donats per:

___MATH_9___, són les velocitats de les ones llongitudinals i transversal.

Ones de Love

Archiu:Love wave.svg

Esquema de la propagació d'una ona de Love. Les partícules vibren perpendicularmente a la direcció de propagació i l'amplitut decau en la profunditat.

Les ones de Love són ones superficials, que requerixen l'existència d'una capa superficial en propietats mecàniques llaugerament diferent de les capes més profundes.

Cas anisótropo llineal

Equació de moviment en mijos anisótropos

En un mig elàstic anisótropo i llineal que la seua equació constitutiva ve donada per:

En absència de forces de volum l'equació de moviment vindrà donada per:ndo el conveni de sumación d'Einstein, per:

Usant la simetria ___MATH_10___ l'expressió anterior es pot escriure simplement com:

Solució per a ones planes

L'equació (1b) és llaugerament més complicada que l'equació (1a) per a comprovar si existixen solucions en forma d'ones planes busquem solucions complexes (la solució física real es pot prendre com la part real de dites solucions) de la forma:

A on:

___MATH_11___ és un conjunt de amplitut.

___MATH_12___ és el número.

___MATH_13___ és un vector unitari en la direcció de propagació (i per tant perpendicular al front d'ona).

___MATH_14___ és la freqüència angular.

Substituyendo (*) en (1b) es té que:

Definint la velocitat de fase com ___MATH_15___ es té l'existència de solucions d'ones planes impliquen que el valor admissible de la velocitat deu ser solució de l'equació:

Ya que eixa és la condició que garantisa que el sistema siga compatible indeterminat. Ya que la matriu de components ___MATH_16___ és simètrica i definida positiva pels requeriments sobre el tensor de constants elàstiques), les solucions possibles per a ___MATH_17___ són número real positius. Eixos valors són precisament els autovalores del problema (3), i els seus valors propis associats donen les amplitut relatives. Els tres vectores formen un sistema ortogonal, un d'ells és paralel o aproximadament paralel a la direcció de propagació de propagació (modo cuasi-llongitudinal) i els atres dos són perpendiculars o aproximadament perpendicular a la direcció de la mateixa (modos cuasi-travessers).