Operador normal

En matemàtiques, especialment en anàlisis funcional, un operador normal en un espai de Hilbert complex H és un operador llineal continu N: H → H que commuta en la seua Operador hermítico N*, és dir: NN* = N*N.^[1]

Els operadors normals són importants perque el teorema espectral se sosté en ells. La classe d'operadors normals és ben entesa. Eixemples d'operadors normals són:

Operadors unitaris: N* = N⁻¹
Operadors hermitianos (és dir, operadors autoadjuntos): N* =N
Operadors Skew-Hermitian : N* = -N
Operadors positius: N = MM * per a alguns M (per lo que N és autoadjunto).

Una matriu normal és l'expressió matricial d'un operador normal en l'espai de Hilbert Cⁿ.

Propietats

Els operadors normals es caracterisen pel teorema espectral. Un operador normal compacte (en particular, un operador normal en un espai llineal de dimensió finita) és unitariamente 'diagonalisable'.

Siga $T$ un operador acotat. Els següents són equivalents.

$T$ és normal.
$T^{*}$ és normal.
$‖ T x ‖^{2} = ‖ T^{*} x ‖^{2}$ per a tot x (usar $‖ T x ‖^{2} = ⟨ T^{*} T x, x ⟩ = ⟨ T T^{*} x, x ⟩ = ‖ T^{*} x ‖^{2}$ ).
Les parts autoadjuntos i anti-autoadjuntos de T commuten. És dir, si escrivim $T \equiv T_{1} + i T_{2}$ en $T_{1} : = \frac{T + T^{*}}{2}$ i $i T_{2} : = \frac{T - T^{*}}{2}$ , després $T_{1} T_{2} = T_{2} T_{1}$ .^[2]

Si N és un operador normal, llavors N i N * tenen el mateix núcleu i el mateix ranc. En conseqüència, el ranc de N és dens si i solament si N és inyectivo.Plantilla:Quina Dit d'una atra manera, el núcleu d'un operador normal és el complement ortogonal del seu ranc. D'això es deduïx que el núcleu de l'operador N ^k coincidix en el de N per a qualsevol k . Tot valor propi generalisat d'un operador normal és, per tant, autèntic. λ és un valor propi d'un operador normal N si i solament si el seu conjugat complex $\overline{λ}$ és un valor propi de N * . Els autovectores d'un operador normal corresponents a diferents autovalores són ortogonals, i un operador normal estabilisa el complement ortogonal de cada u dels seus autoespacios.^[3] Açò implica la teorema espectral habitual: tot operador normal en un espai de dimensió finita és diagonalisable per un operador unitari. També hi ha una versió de dimensió infinita de la teorema espectral expressada en térmens de mides espectrals. L'espectre residual d'un operador normal està buit.

El producte dels operadors normals que es desplacen al treball torna a ser normal; açò no és trivial, pero se seguix directament de la teorema de Fuglede, que establix (en una forma generalisada per Putnam):

Si

N_{1}

i

N_{2}

són operadors normals i si A és un operador llineal acotat tal que

N_{1} A = A N_{2}

, després

N_{1}^{*} A = A N_{2}^{*}

.

La norma d'operador d'un operador normal és igual al seu radi numèric Plantilla:Quina i ràdio espectral .

Un operador normal coincidix en el seu transformada Aluthge.

Propietats en cas de dimensió finita

Si un operador normal T en un real de dimensió finitaPlantilla:Quina o l'espai de Hilbert complex (espai interior del producte) H estabilisa un subespacio V, després també estabilisa el seu complement ortogonal V ^⊥ . (Esta afirmació és trivial en el cas de que T siga autoadjunto. )

Prova. Siga P _V la proyecció ortogonal sobre V. Llavors la proyecció ortogonal sobre V ^⊥ és 1 _H - P _V. El fet de que T estabilise V es pot expressar com ( 1 _H - P _V ) TP _V = 0, o TP _V = P _V TP _V. L'objectiu és mostrar que P _V T ( 1 _H - P _V ) = 0.

Siga X = P _V T ( 1 _H - P _V ). Ya que ( A, B ) ↦ tr ( AB * ) és un producte intern en l'espai d'endomorfismes de H, és suficient mostrar que tr ( XX * ) = 0. Primer notem que

X X^{*} = P_{V} T (1_{H} - P_{V})^{2} T^{*} P_{V} = P_{V} T (1_{H} - P_{V}) T^{*} P_{V} = P_{V} T T^{*} P_{V} - P_{V} T P_{V} T^{*} P_{V}

Ara usant les propietats de la traça i de les proyeccions ortogonals tenim:

\begin{matrix} tr (X X^{*}) & = tr (P_{V} T T^{*} P_{V} - P_{V} T P_{V} T^{*} P_{V}) \\ = tr (P_{V} T T^{*} P_{V}) - tr (P_{V} T P_{V} T^{*} P_{V}) \\ = tr (P_{V}^{2} T T^{*}) - tr (P_{V}^{2} T P_{V} T^{*}) \\ = tr (P_{V} T T^{*}) - tr (P_{V} T P_{V} T^{*}) \\ = tr (P_{V} T T^{*}) - tr (T P_{V} T^{*}) & using the hypothesis that T stabilizes V \\ = tr (P_{V} T T^{*}) - tr (P_{V} T^{*} T) \\ = tr (P_{V} (T T^{*} - T^{*} T)) \\ = 0. \end{matrix}

El mateix argument s'aplica als operadors normals compactes en espais de Hilbert de dimensió infinita, a on es fa us del producte intern de Hilbert-Schmidt, definit per tr ( AB * ) interpretat adequadament.^[4] No obstant, per als operadors normals llimitats, el complement ortogonal a un subespacio estable pugues no ser estable.^[5] D'això es deduïx que, en general, l'espai de Hilbert no pot ser generat per vectores propis d'un operador normal. Considere, per eixemple, el canvi bilateral (o canvi bilateral) que actua sobre $ℓ^{2}$ , que és normal, pero no té valors propis.

Els subespacios invariantes d'un desplaçament que actua sobre l'espai de Hardy es caracterisen per la teorema de Beurling .

Referències

↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
↑ Per contrast, per a l'important classe d'operadors de creació i destrucció de, per eixemple, quàntum field theory, no commuten.
↑ Naylor, Arch W.; Sell George R., {{{nom2}}} (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences, New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3.
↑ (1963).Archiv der Mathematik.14
337–340.doi:10.1007/BF01234964.
↑ Garrett, Paul. «Operators on Hilbert spaces».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Operador normal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

[2] Per contrast, per a l'important classe d'operadors de creació i destrucció de, per eixemple, quàntum field theory, no commuten.

[Naylor-3] Naylor, Arch W.; Sell George R., {{{nom2}}} (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences, New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3.

[4] (1963).Archiv der Mathematik.14
337–340.doi:10.1007/BF01234964.

[Garrett-5] Garrett, Paul. «Operators on Hilbert spaces».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]