Paradoxa de les rodes d'Aristóteles
La paradoxa de les rodes d'Aristóteles és una paradoxa o problema que apareix en l'obra grega Mecànica tradicionalment atribuïda a Aristóteles.[1]
Una roda es pot representar en dos dimensions usant dos círculs. El círcul més gran és tangente a una superfície horisontal (per eixemple, una carretera) sobre la que pot rodar. El círcul més chicotet té el mateix centre i està rígidamente fixat al més gran. El círcul més chicotet podria representar el taló d'un neumàtic, una llanda sobre la qual està montat, un eix, etc. Supongam que els círculs més grans roden sense esgolar-se (o patinar) per a una revolució completa. Les distàncies recorregudes per abdós círculs són de la mateixa llongitut, com es mostra en les llínees discontínues blaves i roges. La distància per al círcul més gran és igual al seu circumferència, pero la distància per al círcul més chicotet és més llarga que la seua circumferència: una paradoxa o problema.
La paradoxa no es llimita a una roda. Atres coses representades en dos dimensions mostren el mateix comportament. Un roll de cinta ho fa. Una típica botella redona enrollada de costat ho fa: el círcul més chicotet que representa la boca o el coll de la botella.
Hi ha algunes coses que es representen en la llínea horisontal marró en l'image tangente al círcul més chicotet en lloc de la més gran. Els eixemples són una roda de tren típica, que té una brida, o una barra que se senta a horcajadas en un banc. Drabkin va cridar a estos Casos II i al tipo en l'image Casos I.[1] S'aplica un anàlisis similar pero no idèntic.
Història de la paradoxa
[editar | editar còdic]En l'antiguetat
[editar | editar còdic]En l'antiguetat, el problema de la roda es descrivia en la Mecànica aristotèlica, aixina com en la Mecànica d'Herón d'Aleixandria.[1] En el primer apareix com "Problema 24", a on la descripció de la roda es dona de la següent manera.
Per a que hi haja un círcul més gran ΔZΓ un EHB més menut, i A en el centre d'abdós; siga ZI la llínea que més es desenrolla per sí sola, i HK la que desenrolla més chicotet per sí mateixa, igual a ZΛ. Quan moc el círcul més menut, moc el mateix centre, que és A; deixa que el més gran s'adherixca a ell. Quan AB es torna perpendicular a HK, al mateix temps, AΓ es torna perpendicular a ZΛ, de modo que sempre haurà completat una distància igual, és dir, HK per a la circumferència HB, i ZΛ per a ZΓ. Si el quarto es desenrolla a una distància igual, està clar que tot el círcul es desenrollará a la mateixa distància que tot el círcul, de modo que quan la llínea BH aplegue a K, la circumferència ZΓ serà ZΛ, i el círcul sancer es desenrollará. De la mateixa manera, quan moc el círcul gran, encaixant el menut, el seu centre és el mateix, AB serà perpendicular i estarà en ànguls rectes simultàneament en A latter, este últim en ZI, el primer en HΘ. De modo que, quan un haja completat una llínea igual a H the, i l'atre a ZI, i ZA torne a ser perpendicular a ZΛ, i HA a HK, per a que siguen com al principi en Θ i I.
El problema es planteja llavors:
Ara, ya que no hi ha una parada de la major per a la menor, de modo que [la major] permaneix durant un interval de temps en el mateix punt, i ya que la més chicoteta no bota sobre cap punt, és estrany que la major travesse un camí. igual a la dels més menuts, i novament que el més chicotet travessa un camí igual a la dels més grans. Ademés, és notable que, encara que en cada cas solament hi ha un moviment, el centre que es mou en un cas roda una gran distància i en l'atre una distància menor.[1]
En la Revolució Científica
[editar | editar còdic]El matemàtic Gerolamo Cardano analisa el problema de la roda en la seua 1570 Opus novum de vuestreiberus numerorum,[2] qüestionant la presunció de l'anàlisis del problema en térmens de moviment.[1] Mersenne va parlar més sobre la roda en la seua 1623 Quaestiones Celeberrimae en Genesim,[3] a on sugerix que el problema pot analisar-se per mig d'un procés d'expansió i contracció dels dos círculs. Pero Mersenne va quedar insatisfeta en la seua comprensió, escrivint,
De fet, mai he pogut descobrir, i no crec que ningú més haja pogut descobrir si el círcul més chicotet toca el mateix punt dos voltes, o si alvança a passos ajagantats.[1]
En els seus Dos noves ciències, Galileo usa el problema de la roda per a defendre un cert tipo d'atomisme. Galileo comença el seu anàlisis considerant un parell d'hexàgons concèntrics, a diferència d'un parell de círculs. En imaginar que esta roda hexagonal "roda" sobre una superfície, Galileo es dona conte de que l'hexàgon interior "bota" una miqueta d'espai, en cada roll de l'hexàgon exterior sobre una nova cara.[4] Després imagina lo que succeiria en el llímit a mida que les cares dels números en el polígon es tornen molt grans, i troba que el poc espai que el polígon intern "bota" es torna cada volta més menut, escrivint:
Per lo tant, un polígon més gran en mil costats passa per damunt i medix una llínea recta igual al seu perímetro, mentres que al mateix temps el més chicotet passa una llínea aproximadament igual, pero un està compost de mil chicotetes partícules iguals als seus mil costats en una mil menuts espais buits interposts, ya que podem cridar-los "buits" en relació en els mil linelets tocats pels costats del polígon.[4]
ya que el círcul és solament el llímit en el que el número de cares en el polígon es torna infinit, Galileo deduïx que la roda d'Aristóteles conté material que està ple d'espais infinitesimals o "buits", i que "els buits interposts no es quantifiquen, pero són infinits en cantitat.".[4] Açò li du a concloure que una solució basada en l'existència d'àtoms, en el sentit de que la matèria està "composta d'infinits àtoms no quantificables" és suficient per a resoldre el problema de la roda.[4]
En el XIX
[editar | editar còdic]Bernard Bolzano va parlar sobre la roda d'Aristóteles en Les paradoxes de l'infinit (1851), un llibre que va influir en Georg Cantor i en els pensadors posteriors sobre les matemàtiques de l'infinit.Bolzano observa que hi ha una bijección entre els punts de dos arcs similars, que poden implementar-se dibuixant un radi, senyalant que l'història d'este fet aparentment paradòxic es remonta a Aristóteles.[1]
En el XX
[editar | editar còdic]L'autor de Falàcies i paradoxes matemàtiques usa una moneda de dèu centaus pegada a mig dólar en els seus centres alineats, abdós fixos a un eix, com a model per a la paradoxa. La moneda de dèu centaus servix com el círcul més chicotet i el mig dólar com el més gran. L'escriu:
Esta és la solució, llavors, o la clau per a això. Encara que va en conte de no deixar que el mig dólar s'esgole sobre la taula, el "punt" que rastreja el segment de llínea al peu de la moneda de dèu centaus gira i s'esgola tot el temps. S'està esgolant sobre la taula. Com la moneda de dèu centaus no toca la part superior de la taula, no notarà l'esmonyida. Si pot moure el mig dólar a lo llarc de la taula i al mateix temps fer rodar la moneda de dèu centaus (o, millor encara, l'eix) a lo llarc d'un bloc de fusta, pot observar l'esmonyida. Si alguna volta ha estacionat massa prop del rastell, ha notat el chirrido que fa el seu tapó mentres s'esgola (i roda) en el rastell mentres que la seua llanda simplement roda sobre el paviment. Quant més chicotet és el círcul chicotet en relació en el círcul gran, més s'esgola el menut. Per supost, el centre dels dos círculs no gira en absolut, per lo que s'esgola tot el camí.
Alternativament, un pot rebujar la suposició de que el círcul més chicotet és independent del círcul més gran. Imagine un neumàtic com el círcul més gran, i imagine el círcul més chicotet com la circumferència interior del neumàtic i no com la llanda. El moviment del círcul intern depén del círcul més gran. Per lo tant, el seu moviment de qualsevol punt a un atre pot calcular-se utilisant una inversa de la seua relació.
Anàlisis i solucions
[editar | editar còdic]La paradoxa és que el círcul intern més chicotet es mou 2πR, la circumferència del círcul extern més gran en ràdio R, en lloc de la seua pròpia circumferència. Si el círcul intern es enrollara per separat, es mouria 2πr, la seua pròpia circumferència en ràdio r. El círcul interior no està separat, sino que està rígidamente conectat en el més gran. Aixina que 2πr és una pista falsa.
Primera solució
[editar | editar còdic]Si el círcul més chicotet depén del més gran (Cas I), llavors el círcul més gran obliga al més chicotet a travessar la circumferència del círcul més gran. Si el círcul més gran depén del més chicotet (Cas II), llavors el círcul més chicotet obliga al círcul més gran a travessar la circumferència del círcul més menut. Esta és la solució més simple.
Segona solució
[editar | editar còdic]Esta solució considera la transició de les posicions inicials a les finals. Siga Pb un punt en el círcul més gran i Ps un punt en el círcul més menut, abdós en el mateix radi. Per a la seua comoditat, suponga que abdós estan directament baix del centre, de manera similar a les dos manetes d'un rellonge que apunta cap a les sis. Tant Pb com Ps viagen per un camí cicloide mentres roden junts una revolució. Els dos camins es mostren ací: https://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html i https://mathworld.wolfram.com/CurtateCycloid.html
Mentres que cada u viaja 2πR horisontalment de principi a fi, la ruta cicloide de Ps és més curta i més eficient que la de Pb. Pb viaja més dalt i més avall del camí del centre, l'única recta, que Ps. L'image propenca mostra els círculs abans i despuix de girar una revolució. Mostra els moviments del centre, Pb i Ps, en Pb i Ps començant i terminant en la part superior dels seus círculs. La llínea verda és el moviment del centre. La curva del tauler blau mostra el moviment de Pb. La curva del tauler roig mostra el moviment de Ps. El camí de Ps és clarament més curt que el de Pb. Quant més prop està Ps del centre, més curta, més directa i més propenca a la llínea verda és la seua trayectòria.
Si Pb i Ps estigueren en qualsevol atre lloc en els seus respectius círculs, les trayectòries curves serien de la mateixa llongitut. Resumint, el círcul més chicotet es mou horisontalment 2πR perque qualsevol punt en el círcul més chicotet recorre un camí més curt i directe que qualsevol punt en el círcul més gran.
Tercera solució
[editar | editar còdic]Esta solució solament compara les posicions d'inici i final. El círcul més gran i el círcul més chicotet tenen el mateix centre. Si dit centre es mou, abdós círculs es mouen a la mateixa distància, que és una propietat necessària de la translació (geometria) i és igual a 2πR en l'experiment. QED. Ademés, cada atre punt en abdós círculs té la mateixa posició sobre el centre abans i despuix de rodar una revolució (o qualsevol un atre número entero de revolucions).
Quarta solució
Esta solució distinguix entre dos casuísticas:
- El círcul gran és el que té el punt de contacte sobre la superfície.
En este cas les forces que s'apliquen al círcul gran per a que es produïxca el gir són la força sobre l'eix que ho impulsa i la força de rozamiento contra la superfície que ho fa girar. Per un atre costat les forces que s'apliquen al círcul chicotet són la mateixa força sobre l'eix que al círcul gran i totes les forces de rozamiento que s'eixercixen sobre el mateix per a que conforme un tot junt al círcul gran. D'esta forma el gir del círcul chicotet no recorre tanta distància com ho faria si gojara d'un punt de contacte únic, sino que en formar un tot en el círcul gran depén del seu punt de contacte i per lo tant la seua distància recorreguda es veu reduïda.
2. El círcul chicotet és el que té el punt de contacte sobre la superfície.
En este cas les forces que s'apliquen al círcul chicotet per a que es produïxca el gir són la força sobre l'eix que ho impulsa i la força de rozamiento contra la superfície que ho fa girar. Per un atre costat les forces que s'apliquen al círcul gran són la mateixa força sobre l'eix que al chicotet i totes les forces de rozamiento que s'eixercixen sobre el mateix per a que conforme un tot junt al círcul menut. D'esta forma el gir del círcul gran recorre més distància que si gojara d'un punt de contacte únic, ya que en formar un tot en el círcul chicotet depén del seu punt de contacte i per lo tant la seua distància recorreguda es veu aumentada.
Esta solució es verifica empíricamente en unir dos rodes de diferent diàmetro per l'eix pero sense que hi haja dependència entre elles més allà del propi eix, o siga que puguen girar lliurement sense afectar-se entre elles. En aplicar diferents punts de contacte per a cada roda sobre dos superfícies llineals paraleles i una força en l'eix observarem que cada una recorre la distància que complix la regla distancia=2πr, quedant palesa que la mateixa té un requisit per al seu compliment: l'objecte al que se li aplica solament deu tindre un eix sobre el que eixercir una força d'espente i un punt de contacte en el que es produirà una força de rozamiento.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Osiris.9
- 162–198.doi:10.1086/368528.
- ↑ Cardano, Geronimo (1570). Opus novum de proportionibus numerorum ...: Praeterea Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ... Item De regula liber ... (en en).
- ↑ Mersenne, Marin (1623). Quaestiones celeberrimae in Genesim ... (en la).
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Galilei, Galileo; Drake, {{{nom2}}} (2000). Two New Sciences: Including Centers of Gravity & Force of Percussion (en en), Wall & Emerson. ISBN 9780921332503.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Paradoja de las ruedas de Aristóteles» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.