Paritat del zero
El 0 és parell. En atres paraules, la «paritat» —és dir la qualitat d'un número entero de ser parell o impar— que li correspon al número zero és la d'un número par. El zero complix en la definició d'número par: és un sancer múltiple del dos, 0 = 0 × 2. Com a resultat, el zero compartix totes les propietats que caracterisen als número par: 0 és divisible exactament per 2; 0 està entre dos número impar; 0 és la resta d'un sancer a sí mateixa; un conjunt en 0 objectes pot separar-se en dos conjunts iguals.
ya que les definicions d'número par varien, un atre acostament consistix en considerar la manera en que el zero seguix els mateixos patrons que els demés número par. Les regles aritmètiques de paritat, com per eixemple parell − parell = parell, requerixen que 0 siga parell. El zero és l'element neutre del grup dels sancers parells, i és el punt de partida per a definir els subsegüents número natural generats recursivamente. Les aplicacions d'esta recursión, que van des de la teoria de grafos fins a la geometria computacional, donen per assentat que el zero és parell.
Entre el públic en general, la paritat del zero pot ser font de confusió. En experiments de «temps de reacció», la majoria de la gent tarda més en classificar al 0 com a parell que al 2, 4, 6 o 8.
Per qué el zero és parell
[editar | editar còdic]És fàcil provar directament que el zero és un número par.
- Un número es diu que és parell si és un múltiple sancer del 2. Llavors, per definició, el zero és parell: .[1]
Esta demostració comença en una definició estàndar de "número par". També és possible explicar per qué el zero és parell sense fer menció a definicions formals.[2] Les explicacions següents deuen ser compreses en térmens fonamentals de conceptes de números.
Fonaments
[editar | editar còdic]
El conteo bàsic utilisa números. Donat un conjunt d'elements, és comú utilisar números per a descriure quànts objectes hi ha en el conjunt. Zero és el conte de cap objecte; en térmens més precisos, és el número d'objectes que hi ha en el conjunt buit. El concepte de paritat és utilisat en formar grups de dos objectes: si els objectes d'un conjunt poden agrupar-se de dos, sense deixar cap sense parella, llavors el número d'objectes del conjunt és parell; si un objecte queda aïllat, llavors el número d'objectes del conjunt és senar.[4]
El conjunt buit conté zero grups de dos, i cap objecte queda aïllat en este agrupamiento. No és evident no obstant visualisar zero elements de dos, o posar atenció en la no-existència de l'objecte aïllat; esta concepció de la paritat del zero pot ser ilustrada en comparar al conjunt buit en atres conjunts, com en el diagrama de la dreta.[5]
La recta numèrica proveïx una visualisació més uniforme dels números, incloent els números positius, els números negatius i al zero. Quan els parells i els senars es destaquen visualment, el patró es torna evident:
Els parells i senars s'alternen. Començant en qualsevol número par, contar cap a dalt o cap a avall de dos en dos du a un atre número par, i no hi ha cap raó per a excloure al zero.[6]
La paritat pot establir-se més formalment en ajuda d'expressions aritmètiques. Tot sancer és o be de la forma (2 × ▢) + 0 o be (2 × ▢) + 1; els primers números són parells, els següents senars. Per eixemple, 1 és senar lloc que 1 = (2 × 0) + 1, i 0 és parell ya que 0 = (2 × 0) + 0. Una taula en estos valors reforça l'idea expressada en la recta numèrica.[7]
Paritat
[editar | editar còdic]La definició precisa d'un terme matemàtic, tal com «parell significa sancer múltiple de dos» és, en última instància, una convenció. Alguns térmens o definicions matemàtiques es construïxen explícitament per a excloure casos trivials o degenerados. Els número primo constituïxen un conegut eixemple; la definició de "número primo" ha variat històricament de "sancer positiu en com a molt 2 factors" a "sancer positiu en exactament 2 factors", en el notable efecte de que el 1 ya no es pot considerar primer. La majoria dels autors fan notar que esta definició convé millor a les teoremes matemàtiques que concernixen número primo. Per eixemple, el teorema fonamental de l'aritmètica és més cómodo d'enunciar si l'1 no es considera primer.[8]
De modo anàlec, seria possible redefinir el terme «parell» de modo que no incloguera al zero. No obstant, en este cas, la nova definició faria més difícil establir teoremes concernents als número par. Els efectes poden notar-se, per eixemple, en les lleis que governen l'aritmètica dels número entero parells i impars:[9]
- parell ± parell = parell
- senar ± senar = parell
- parell × sancer = parell.
En fer una excepció en el zero en la definició, estes regles serien incorrectes[9] i tindrien que ser si més no modificades. Per una atra part, respectar les lleis obedides pels número par positius, i requerir que seguixquen sent vàlides per a tots els sancers, força la definició usual i la consecutiva paritat del zero.[9]
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Penner, 1999, p=34, Lema B.2.2, The integer 0 is even and is not odd. Penner utilisa el quantificador existencial ∃: "Per a mostrar que 0 és parell, devem provar que ∃k(0 = 2k), i açò seguix de l'igualtat 0 = 2 · 0".
- ↑ Ball, Lewis (Thames, 2008, p=15), discutix el repte dels professors de mig grau, que desigen introduir «raons matemàtiques» per a justificar «fets matemàtics».
- ↑ Lichtenberg. 1972. p=535; comparar Fig. 1
- ↑ Lichtenberg. 1972. pp=535–536}} "...els números responen a la pregunta: «¿Quànts hi ha?» per al conjunt d'objectes ... zero és la propietat numèrica del conjunt buit ... Si els elements de cada conjunt s'agrupen de dos ... se seguix que el número d'eixe conjunt és un número par."
- ↑ Lichtenberg. 1972. pp=535–536. "Hi ha zero grups de dos dibuixos. Cap dibuix està aïllat. Després, el zero és un número par."
- ↑ Lichtenberg. 1972. p=537; comparar Fig. 3. "Si s'identifiquen els número par d'algun modo especial ... no hi ha motiu per a ometre al zero del patró."
- ↑ Lichtenberg. 1972. pp=537–538. "A un nivell més alvançat ... els números que es poden escriure com (2 × ▢) + 0 són parells ... el zero encaixa perfectament en este patró.
- ↑ Gowers. 2002. p=118. "La clara i arbitrària exclusió de l'1 de la definició de Número primo … no expressa cap característica profunda sobre els números: succeïx solament que és una convenció útil, adoptada de modo que solament hi haja una manera de factorizar qualsevol número donat en factors primers".
- ↑ 9,0 9,1 9,2 Partee. 1978. p=xxi.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Paridad del cero» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.