Partícula lliure

En física, una partícula lliure és una partícula que, en cert sentit, no està enllaçada. En física clàssica açò significa que la partícula no està somesa a cap força.

Partícula lliure clàssica

La partícula lliure clàssica es caracterisa simplement perque la seua velocitat és constant. El moment llineal ve dau per

i l'energia per

a on $m$ és la massa de la partícula i $𝐯$ el vector velocitat de la partícula.

Partícula lliure quàntica no-relativista

l'equació de Schrödinger depenent del temps per a una partícula lliure és:

És fàcil comprovar que per a este sistema l'operador Hamiltoniano commuta en l'operador moment i, per tant, existix un conjunt complet de solucions comunes. La solució corresponent a valors definits de l'energia i del moment ve donada per una ona plana:

i, per tant, en la restricció

a on r és el vector posició, t és el temps, k és el vector d'ona, ω és la freqüència angular i $A$ l'amplitut. Una ona plana representa l'estat d'una partícula lliure en una provabilitat uniforme en tot l'espai, degut a que la densitat de provabilitat pren un valor constant i independent de la posició r i del temps t, $|\Psi (𝐫,t){|}^2={\Psi }^{*}\Psi =|A{|}^2$. Com l'integral de ${\Psi }^{*}\Psi$ sobretot l'espai deu ser l'unitat, hi ha un problema a l'hora de normalisar esta autofunción del moment (una alternativa és considerar la normalisació en funció del fluix). No obstant, no serà un problema per a una partícula lliure més general, ya que d'alguna manera es trobarà localisada tant en la seua posició com en el seu moment (vore partícula en una caixa per a una discussió més detallada).

Paquet d'ona

Representació d'un paquet d'ones unidimensional: la part real, partix imaginària i la densitat de provabilitat d'un paquet d'ones desplaçant-se cap a la dreta.

Una partícula lliure més general no té un moment o una energia definida. En este cas, la funció d'ona de la partícula lliure es representa com una superposició d'ones planes (que descriuen l'estat d'una partícula lliure de moment definit), denominada paquet d'ones:

a on l'integral es definix sobretot l'espai k, i a on $\omega$ depén de $k$ segons l'equació (2). Note's que esta funció, al contrari que les ones planes, és de quadrat integrable i, per tant, es pot normalisar.

La velocitat de grup de l'ona es definix com

a on $v$ és la velocitat clàssica de la partícula. La velocitat de fase de l'ona es definix com

Si suponem per simplicitat que la variació de l'amplitut $A(𝐤)$ és simètrica respecte del seu valor màxim ${𝐤}_0$, obtenim que el valor esperat del moment p és

mentres que el valor esperat de l'energia $E$ és

Rebujant ${𝐤}_0$ i ω i substituint en l'equació que les relaciona, obtenim la relació ya coneguda entre energia i moment per a partícules no-relativistes en massa $m$

a on p=|p|.

Densitat de corrent en mecànica quàntica

En mecànica quàntica, la corrent de provabilitat és un concepte que descriu el fluix de densitat de provabilitat. Aixina, en mecànica quàntica no-relativista, es definix com

Per al cas d'una partícula lliure $\Psi (𝐫,t)=A{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$, la corrent de provabilitat ve donada per