Polinomis de Touchard

Polinomis de Touchard

Els polinomis de Touchard (nomenats en honor al matemàtic francés Jacques Touchard que els va estudiar en 1939), a sovint també cridats polinomis exponencials comprenen una seqüència polinomial de tipo binomial definides per:

$T_n(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^k=\sum _{k=1}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}{x}^k$

A on S(n, k) correspon a un número de Stirling de segona classe, açò és, el número de particions d'un conjunt de n elements en k subconjunts no buits. I La segona notació, que inclou l'us de claus, va ser introduïda per Donald Knuth.

Propietats

Evaluant en 1 el n-ésimo polinomi de Touchard obtenim el n-ésimo número de Bell, açò és, el número de particions d'un conjunt de n elements:

$T_n(1)=B_n$

Si X és una variable aleatòria en una distribució de Poisson i un número esperat d'ocurrències λ,llavors la seua n-ésimo moment és T_n(λ) = I(Xⁿ). Usant este fet es pot provar fàcilment que esta seqüència polinomial és de tipo binomial, açò és, satisfà la seqüència d'identitats:

$T_n(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})T_k(\lambda )T_{n-k}(\mu ).$

Els polinomis de Touchard constituïxen l'única seqüència polinomial de tipo binomial en la qual el coeficient del terme de primer grau de cada polinomi és 1.

Els polinomis de Touchard satisfan la relació recursiva:

$T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})T_k(x).$

Si x= 1, l'expressió es reduïx a la fòrmula recursiva dels números de Bell.

La funció generatriz dels polinomis Touchard és:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{T_n(x)}{n!}{t}^n=e^{x(e^t-1)}.$

Referències

• (1939).«Sur els cycles dones substitutions».Acta Mathematica.70(1)

243–297.ISSN 0001-5962.doi:10.1007/BF02547349.