Tipo binomial

En matemàtiques, una série polinòmica de tipo binomial és una seqüència de polinomis indexada per {0, 1, 2, 3,...} en la que l'índex de cada polinomi és igual al seu grau, i que satisfà l'identitat següent:

$p_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)p_{n-k}(y).$

Existixen moltes d'estes séries. El conjunt de totes elles forma un grup de Lie baixe l'operació de composició llindar, que s'explica a continuació. Cada série de tipo binomial pot expressar-se a partir dels térmens dels polinomis de Bell. A la seua volta, cada série de tipo binomial és una série de Sheffer (encara que la majoria de les séries de Sheffer no són de tipo binomial).

La moderna teoria sobre les séries polinòmiques ha superat per complet les vagues nocions de el XIX sobre el càlcul llindar.

Eixemples

• Com a conseqüència d'esta definició, el teorema del binomi pot establir-se dient que la serie {xⁿ: n = 0, 1, 2,...} és de tipo binomial.
• La série de factorials descendents està definida per

$(x{)}_n=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).$

(en la teoria de funcions especials, esta mateixa notació denota els factorials descendent i ascendent, encara que este us actual és universal en el camp de la combinatòria). S'entén que el producte és 1 si n = 0, ya que en eixe cas és un producte buit. Esta série polinòmica és de tipo binomial.

• De la mateixa manera els factorials ascendents

$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)$

són una série polinòmica de tipo binomial.

• Els polinomis d'Abel

$p_n(x)=x(x-an{)}^{n-1}$

són una série polinòmica de tipo binomial.

• Els polinomis de Touchard

$p_n(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^k$

a on S (n, k) és el número de particions d'un conjunt de tamany n en k subconjunts disjuntos no buits, és una série de polinomis de tipo binomial. Eric Temple Bell els va cridar polinomis exponencials, i este terme també apareix aixina en distints texts. Els coeficients S (n, k) són els números de Stirling de segona espècie. Esta série té una conexió curiosa en la distribució de Poisson: si X és una variable aleatòria en una distribució de Poisson en el valor esperat λ, llavors I (Xⁿ) = p_n(λ). En particular, quan λ = 1, es té que el n-ésimo moment de la distribució de Poisson en el valor esperat 1 és el número de particions d'un conjunt de tamany n, cridat n-ésimo número de Bell. Este fet sobre el moment n d'una distribució de Poisson en particular constituïx la fòrmula de Dobinski.

Caracterisació per operadors delta

Es pot mostrar que una série polinòmica {p_n(x): n = 0, 1, 2,...} és de tipo binomial si i solament si es complixen les tres condicions següents :

• És una aplicació llineal en l'espai de polinomis en x, que es caracterisa per:

$p_n(x)\mapsto n{p}_{n-1}(x)$

és equivariante al canvi, i

• p₀(x) = 1 per a tot x, i
• p_n(0) = 0 per a n> 0.

(L'afirmació de que este operador és equivariante al canvi equival a dir que la série polinòmica és una série de Sheffer; el conjunt de séries de tipo binomial s'inclou correctament dins del conjunt de séries de Sheffer).

Operadors delta

Eixa transformació llineal és clarament un operador delta, és dir, una transformació llineal equivalent al desplaçament en l'espai dels polinomis en x que reduïx els graus dels polinomis en 1. Els eixemples més obvis d'operadors delta són les diferències finitas i la diferenciació. Es pot demostrar que cada operador delta pot escriure's com una série de potències de la forma

$Q=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{D}^n$

a on "D" és la diferenciació (ténga en conte que el llímit inferior de la suma és 1). Cada operador delta Q té una série única de polinomis bàsics, és dir, una série polinòmica que satisfà

1. $p_0(x)=1,$
2. $p_n(0)=0\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}n\ge 1,\mathrm{y}$
3. $Q{p}_n(x)=n{p}_{n-1}(x).$

Trencada, Kahaner i Odlyzko varen demostrar en 1973 que una série polinòmica és de tipo binomial si i solament si és la série de polinomis bàsics d'algun operador delta. Per lo tant, este paràgraf equival a un criteri per a generar tantes séries polinòmiques de tipo binomial com es desige.

Vore també

• Anex:Relacions factorials i binomial
• Binomial-QMF (filtres wavelet de Daubechies)

Referències

• G.-C. Trencada, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus," Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• R. Mullin and G.-C. Trencada, "On the Foundations of Combinatorial Theory III: Theory of Binomial Enumeration," in Graph Theory and Its Applications, edited by Bernard Harris, Academic Press, New York, 1970.

Com sugerix el seu títul, la segona de les referències anteriors està dedicada explícitament a les aplicacions per a l'enumeració combinatòria.

• vaig donar Bucchianico, Alessandro. Probabilistic and Analytical Aspects of the Llindar Calculus, Ámsterdam, CWI, 1997.
• Plantilla:Mathworld