Números de Stirling

En matemàtiques, els números de Stirling resolen alguns problemes de l'àrea de combinatòria. El seu nom es deu a James Stirling, qui els va popularisar en el XVIII. Existixen dos diferents conjunts de números en este nom: números de Stirling de primera espècie i números de Stirling de segona espècie. Varen ser descoberts novament per Masanobu Saka en 1782, qui els va otorgar la seua rellevància en combinatòria en el seu llibre Sanpo-Gakkai (La mar de l'aprenentage matemàtic).

Notació

Existixen diverses formes de denotar els números de Stirling. Els números de Stirling de primera espècie s'escriuen en una s chicoteta i els de segona espècie en una S gran (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gòtica). Les notacions més comunes són:

• Els números de Stirling de primera espècie ordinaris (signados) es denoten com:

• Els números de Stirling de primera espècie no signados es denoten com:

Els números de Stirling de segona espècie es denoten com:

La notació usant claus i corchetes, en analogia als coeficients binomiales, va ser introduïda en 1935 per Jovan Karamata i promocionada per Donald Knuth; referida a voltes com la notació de Karamata.

Números de Stirling de primera espècie

Artícul principal → Números de Stirling de primera espècie.

Els números de Stirling de primera espècie són els coeficients s(n,k) de l'expansió:

a on $(x{)}_n$ (símbol de Pochhammer) denota el factorial descendent,

Note's que (x)₀ = 1 perque és un producte buit. En combinatòria també s'usa la notació $x^{\underset{\_}{n}}$ per al factorial descedente, i $x^{\bar{n}}$ per al factorial ascendent.

Els números de Stirling de primera espècie no signados:

(en una "s" minúscula), conta el número de permutació de n elements en k cicles disjuntos. La següent taula mostra alguns pocs números de Stirling de primera espècie:

a on

Bibliografia

• M. Abramowitz, I. Stegun (Eds.). Stirling Numbers of the First Kind., §24.1.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 824, 1972.
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions (with Formules, Graphs and Mathematical Tables), U.S. Dept. of Commerce, National Bureau of Standards, Applied Math. Séries 55, 1964, 1046 pages (9th Printing: November 1970) - Combinatorial Analysis, Table 24.4, Stirling Numbers of the Second Kind (author: Francis L. Miksa), p. 835.
• D.E. Knuth, Two notes on notation [1] archivat en Wayback Machine. (TeX source).
• Louis Comtet, Valeur de s(n, k), Analyse combinatoire, Prenga second (page 51), Presses universitaires de France, 1970.
• Louis Comtet, Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S.A., 1974.
• Plantilla:Planetmath reference.
• Plantilla:Planetmath reference.

• Neil J. A. Sloane, The On-line Encyclopedia of Integer Sequences.
• Francis L. Miksa (1901–1975), Stirling numbers of the first kind, "27 leaves reproduced from typewritten manuscript on deposit in the UMT File", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 10, no. 53, January 1956, pp. 37–38 (Reviews and Descriptions of Tables and Books, 7[I]).
• Dragoslav S. Mitrinović, Sur els nomenes de Stirling de première espèce et els polynômes de Stirling [2] archivat en Wayback Machine., AMS 11B73_05A19, Publications de la Vaig facultar d'Electrotechnique de l'Université de Belgrade, Série Mathématiques et Physique (ISSN 0522-8441), n.º 23, 1959 (5.V.1959), pp. 1–20.
• Victor Adamchik, "On Stirling Numbers and Euler Sums
• Archivat el 16 de juny de 2009 archivat en Wayback Machine.", Journal of Computational and Applied Mathematics 79 (1997) pp. 119–130.
• Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95–103.
• J. M. Sixdeniers, K. A. Penson, A. I. Solomon, Estendre Bell and Stirling Numbers From Hypergeometric Exponentiation (2001), Journal of Integer Sequences, 4, Article 01.1.4.
• Hsien-Kuei Hwang(1995).Journal of Combinatorial Theory, Séries A.71(2)

343–351.doi:10.1016/0097-3165(95)90010-1.

• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, James Stirling (1692–1770), (September 1998).