Problema de Thomson

L'objectiu del problema de Thomson és determinar la configuració d'energia potencial electrostàtica mínima de N electrons restringits a la superfície d'una esfera unitària que es repelixen entre sí en una força donada per la Llei de Coulomb, el físic J. J. Thomson va plantejar el problema en 1904^[1] despuix de propondre un model atòmic, més tarde cridat model atòmic de Thomson basat en el seu coneiximent de l'existència d'electrons carregats negativament dins d'àtoms en càrrega neutra.

Els problemes relacionats inclouen l'estudi de la geometria de la configuració d'energia mínima i l'estudi del comportament de N gran de l'energia mínima.

Enunciat matemàtic

El sistema físic incorporat pel problema de Thomson és un cas especial d'un dels díhuit problemes matemàtics no resolts proposts pel matemàtic Steve Smale - "Distribució de punts en les 2-esferes".^[2] La solució de cada problema de N-electró s'obté quan la configuració de N-electró restringida a la superfície d'una esfera de ràdio unitat, $r = 1$ , produïx un mínim d'energia potencial electrostàtica global, $U (N)$ .

L'energia d'interacció electrostàtica que es produïx entre cada parell d'electrons de càrregues iguals ( $e_{i} = e_{j} = e$ , en $e$ la càrrega elèctrica d'un electró) està donada per la Llei de Coulomb,

U_{i j} (N) = k_{e} \frac{e_{i} e_{j}}{r_{i j}} .

Ací, $k_{e}$ és la constant de Coulomb i $r_{i j} = | 𝐫_{i} - 𝐫_{j} |$ és la distància entre cada parell d'electrons localisats en els punts de l'esfera definits per vectores $𝐫_{i}$ and $𝐫_{j}$ respectivament.

Les unitats simplificades de $e = 1$ and $k_{e} = 1$ s'usen sense pèrdua de generalitat. Llavors,

U_{i j} (N) = \frac{1}{r_{i j}} .

L'energia potencial electrostàtica total de cada configuració de N-electró es pot expressar com la suma de totes les interaccions per parells

U (N) = \sum_{i < j} \frac{1}{r_{i j}} .

La minimisació global de $U (N)$ sobre totes les coleccions possibles de N punts distints es troba típicament per mig d'algoritmes de minimisació numèrica.

Eixemple

La solució del problema de Thomson per a dos electrons s'obté quan abdós electrons estan lo més separats possible en costats oposts de l'orige, $r_{i j} = 2 r = 2$ , o

U (2) = \frac{1}{2} .

Solucions conegudes

Les configuracions mínimes d'energia han segut rigorosament identificades en solament uns pocs casos.

Per a N = 1, la solució és trivial ya que l'electró pot residir en qualsevol punt de la superfície de l'esfera de l'unitat. L'energia total de la configuració es definix com zero ya que l'electró no està subjecte al camp elèctric per atres fonts de càrrega.
Per a N = 2, la configuració òptima consistix en electrons en punts antipodales.
Per a N = 3, els electrons residixen en els vèrtiços d'un triàngul equilátero al voltant d'un gran círcul.^[3]
Per a N = 4, els electrons residixen en els vèrtiços d'un tetraedre regular.
Per a N = 5, una solució matemàticament rigorosa assistida per computadora es va informar en 2010 en electrons que residixen en els vèrtiços d'una bipirámide triangular.^[4]

Per a N = 6, els electrons residixen en vèrtiços d'un octaedre regular.^[5]
Per a N = 12, els electrons residixen en els vèrtiços d'un icosaedre regular.^[6]

En particular, les solucions geomètriques del problema de Thomson per a N = 4, 6 i 12 electrons es coneixen com sòlits platònics que les seues cares són tots triànguls equiláteros congruents, les solucions numèriques per a N = 8 i 20 no són les configuracions polièdriques convexas regulars dels dos sòlits platònics restants, que les seues cares són quadrades i pentagonals, respectivament.

Referències

↑ Thomson, Joseph John (March 1904). "On the Structure of the Atom: an Investigation of the Stability and Periods of Oscillation of a number of Corpuscles arranged at equal intervals around the Circumference of a Circle; with Application of the Results to the Theory of Atomic Structure" (PDF). Philosophical Magazine. Séries 6. 7 (39): 237–265. Archived from the original (PDF) on 13 December 2013.
↑ Smale, S. (1998). "Mathematical Problems for the Next Century". Mathematical Intelligencer. 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101. doi:10.1007/bf03025291.
↑ L. Foppl, "Stabile anordnungen von elektronen im atom", J. Regne Angew. Math., 141 (1912), 251–301.
↑ https://arxiv.org/abs/1001.3702
↑ V.A. Yudin, "The minimum of potential energy of a system of point charges", Discretnaya Matematika 4(2) (1992), 115–121 (in Russian); Discrete Math. Appl., 3(1) (1993), 75–81
↑ N.N. Andreev, "An extremal property of the icosahedron", East J. Approximation, 2(4) (1996), 459–462, MR1426716, Zbl 0877.51021

Notes

Henry Cohn and Abhinav Kumar, "Universally optimal distribution of points on spheres". J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), no. 1, 99–148
Cris Cecka, Mark J. Bowick, and Alan A. Middleton: http://thomson.phy.syr.edu/ [1] archivat en Wayback Machine.
T. Erber and G. M. Hockney, "Complex Systems: Equilibrium Configurations of $N$ Equal Charges on a Sphere $(2 \leq N \leq 112)$ ", Advances in Chemical Physics, Volume 98, pp. 495–594, 1997.
P. D. Dragnev, D. A. Legg, and D. W. Townsend, "Discrete logarithmic energy on the sphere". Pacific J. Math. 207 (2002), no. 2, 345–358.
David J. Wales and Sidika Ulker: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/wales/CCD/Thomson/table.html and also http://www-wales.ch.cam.ac.uk/wales/CCD/Thomson2/table.html

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Problema de Thomson» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Thomson, Joseph John (March 1904). "On the Structure of the Atom: an Investigation of the Stability and Periods of Oscillation of a number of Corpuscles arranged at equal intervals around the Circumference of a Circle; with Application of the Results to the Theory of Atomic Structure" (PDF). Philosophical Magazine. Séries 6. 7 (39): 237–265. Archived from the original (PDF) on 13 December 2013.

[2] Smale, S. (1998). "Mathematical Problems for the Next Century". Mathematical Intelligencer. 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101. doi:10.1007/bf03025291.

[3] L. Foppl, "Stabile anordnungen von elektronen im atom", J. Regne Angew. Math., 141 (1912), 251–301.

[4] ttps://arxiv.org/abs/1001.3702

[5] V.A. Yudin, "The minimum of potential energy of a system of point charges", Discretnaya Matematika 4(2) (1992), 115–121 (in Russian); Discrete Math. Appl., 3(1) (1993), 75–81

[6] N.N. Andreev, "An extremal property of the icosahedron", East J. Approximation, 2(4) (1996), 459–462, MR1426716, Zbl 0877.51021

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]