Raïl quadrada d'una matriu

En matemàtiques, la raïl quadrada d'una matriu estén la noció de raïl quadrada dels números a les matrius. Una matriu B es diu que és una raïl quadrada de A si el producte matricial BB és igual a A.

Introducció

L'existència d'un producte de matrius permet definir la raïl d'una matrius com aquella matriu que multiplicada per sí mateixa dona l'original.

Si $A$ és una matriu definida positiva o operador, llavors existix exactament una matriu definida positiva o operador $B$ tal que $B^2=A$; llavors definim $\sqrt{A}=B$. Donada una matriu real la seua raïl quadrada està definida si la seua espectre puntual està format per números positius, si l'espectre no fora estrictament positiu la raïl quadrada d'una matriu involucrarà matrius en coeficients complexos.

Més generalment, per a cada matriu o operador normal $A$ existixen operadors normals $B$ tals que $B^2=A$. En general, hi ha molts d'eixos operadors $B$ per a cada $A$ i llavors la funció raïl quadrada no pot ser definida satisfactòriament per a operadors normals. En certa manera es pot dir que els operadors definits positius són similars als número real positius, i els operadors normals són similars als número complejo.

Algoritmes de càlcul

Método simplificat de Newton

Si A és una matriu n × n en valores complexos, el següent algoritme — Método simplificat de Newton — aproxima la matriu $X_k$ a la raïl quadrada de A despuix de k iteraciones:

Siga X₀ = I, a on I és la matriu identitat. La iteración està definida per

$X_{k+1}=\frac{1}{2}(X_k+A{X}_k^{-1}).$

La convergència no està assegurada, pero si el procés convergix, la matriu $X_k$ convergix cuadráticamente a la raïl quadrada A^1/2. Este método és una extensió del algoritme babilònic per al càlcul de raïls quadrades de números positius ordinaris.

Método IASMN

Per a una matriu A real definida positiva existix un algoritme denominat Iteración alternativa simplificada del Método de Newton, molt senzill i computacionalment eficient per a calcular la raïl quadrada d'este important tipo de matrius. L'algoritme és el següent:

$\begin{array}{c}\text{Dado }{X}_0=I_n\\ {\alpha }_k=\frac{\sqrt{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{a}(A)}}{{\Vert X_k\Vert }_F}{\alpha }_k>0\\ X_{k+1}=\frac{1}{2}({\alpha }_k{X}_k+({\alpha }_k{X}_k{)}^T\mathrm{\setminus }A)\\ k=0,1,2,\dots \end{array}$

El símbol "" representa el procés d'eliminació Gaussiana.

Vore també

• Raïl quadrada