Regla dels signes de Descartes

Archiu:Portrait of René Descartes, bust, three-quarter facing left in an oval border, (white background removed).png

René Descartes

La regla dels signes de Descartes, inicialment descrita per René Descartes en la seua obra La géométrie, és una teorema que determina el número de raïls positives i negatives d'un polinomi.

Segons la regla, si els térmens d'un polinomi en coeficients reals es coloquen en orde descendent de grau; llavors el número de raïls positives del polinomi és o igual al número de canvis de signe o menor per una diferència parell. És important precisar que esta regla no proporciona el número exacte de raïls del polinomi ni tampoc identifica les raïls del polinomi.

Eixemple

$x^3+x^2-x-1$

Té un canvi de signe entre el segon i el tercer terme. Per tant existix solament una raïl positiva segons Descartes.

Per a contar el número de raïls negatives (com corolari a la regla), fem la substitució $x⟶-x$:

$-x^3+x^2+x-1$

Este polinomi té dos canvis de signe, després el polinomi original posseïx 2 o 0 raïls negatives.

Per a confirmar el resultat, observe's la factorización del polinomi:

$(x+1{)}^2(x-1),$

Les raïls són -1 (dos voltes) i 1.

Cas particular

El fet de que les raïls positives puga ser menor que la cota que nos dona este resultat es deu a les raïls complexes del polinomi. Com estes sempre van en parelles de conjugats, el número de raïls positives serà el número de canvis de signe del polinomi menys un múltiple de dos. Si totes les raïls del polinomi són reals, la regla proporciona el número exacte de raïls positives del polinomi.

Vore també

• Teorema de Sturm