Rompecabezas de dissecció

Archiu:Stomachion. caps block 0

El ostomachion, un rompecabezas de dissecció atribuït a Arquímedes

Un rompecabezas de dissecció és un tipo de puzle que consistix en determinar una divisió d'una figura geomètrica determinada en peces que deuen tornar-se a ensamblar per a obtindre una atra figura geomètrica donada. Es poden impondre restriccions adicionals, com l'us d'un número mínim de peces.

Història

Els rompecabezas de dissecció varen aparéixer en époques remotes segurament com a eixercicis de geometria, i a sovint s'usen com demostracions gràfiques. La descripció més antiga coneguda d'un rompecabezas d'este tipo es remonta a Platón, i requerix tallar dos quadrats idèntics en quatre peces per a reconstruir un sol quadrat. Estos acertijos també es varen utilisar per a obtindre demostracions del teorema de Pitágoras (vore per eixemple l'artícul sobre la trisecció del quadrat, o el dedicat al Zhoubi Suanjing). Un atre rompecabezas d'esta época és el ostomachion, que apareix en un tractat d'Arquímedes, en el que es propon una divisió dels dos quadrats en catorze peces.

En el X, els matemàtics àraps varen utilisar dissecció en els seus comentaris sobre els Elements de Euclides. En el XVIII, l'erudit chinenc Dai Zhen va descriure una elegant dissecció que permet una aproximació del número π.

El problema del mercero, creat per Henry Dudeney

Estos acertijos es varen fer populars a finals de XIX, i varis periòdics i revistes els publicaven regularment. Sam Loyd en Estats Units i Henry Dudeney en Anglaterra els varen crear en grans cantitats. Des de llavors, s'han utilisat rompecabezas de dissecció en l'educació matemàtica. En particular, crear rompecabezas complexos és una oportunitat per a desenrollar teoremes de geometria. L'anàlisis de la possibilitat teòrica d'un rompecabezas d'este tipo es coneix com problema de dissecció.

Les transformacions per dissecció de polígons regulars varen ser el tema de la columna de Martin Gardner en el Scientific American de novembre de 1961, proporcionant els millors resultats coneguts llavors, com el rompecabezas opost al de la merceria, per Dudeney, i la transformació d'un quadrat en un triàngul equilátero.

La generalisació d'alguns d'estos resultats a l'espai és el tema de tercer problema de Hilbert, resolt (negativament) per Max Dehn. En cert sentit, la descomposició de Banach i Tarski també pot vore's com un rompecabezas de dissecció paradòxic.

Tipos de rompecabezas de dissecció

Les 13 formes convexas realisables en el tangram

Alguns rompecabezas de dissecció estan dissenyats per a permetre la creació d'un gran conjunt de figures geomètriques, com és el cas del tangram, que les seues sèt peces poden ensamblarse en un quadrat, triàngul o rectàngul aixina com en una àmplia varietat de formes més complexes, algunes molt fàcils, uns atres extremadament desafiants. És esta versatilitat la que ha fet que el rompecabezas siga un èxit.

Atres dissecció, una volta descobertes, poden prestar-se a realisacions mecàniques: el rompecabezas del mercero pot realisar-se per mig de frontices (colocades en els quatre costats del quadrat) que permeten passar d'una figura a una atra per mig d'un simple gir. Des d'un punt de vista més teòric, la busca de descomposicions mínimes és un tema actiu, i per eixemple, encara no se sap si és possible completar el rompecabezas del mercero en tres peces, o la trisecció del quadrat en cinc peces.

La paradoxa del quadrat perdut en una animació

Equidescomposición d'un quadrat i d'un hexàgon

Varis autors, inclós Sam Loyd, també han construït descomposicions paradòxiques, com el puzle del quadrat faltante, a on una ilusió òptica du a creure que l'àrea de la figura una volta reconstruïda ha canviat.