Série de Eisenstein

Les séries de Eisenstein, cridades aixina en honor al matemàtic alemà Ferdinand Eisenstein, són formes modular en expasiones en forma de séries infinites que poden escriure's directament. Originalment definides per al grup modular, les séries de Eisenstein poden ser generalisades en la teoria de formes automórficas.

Séries de Eisenstein per al grup modular

Archiu:Gee three real.jpeg

La part real de G₆ com una funció de q en el disc unitat. Els números negatius estan representats en negre.

Archiu:Gee three imag.jpeg

La part imaginària de G₆ com una funció de q en el disc unitat.

Siga τ un número complejo en part imaginària estrictament positiva. Es definix la série de Eisenstein holomorfa G_2k(τ) de pes 2k, a on k ≥ 2 és un sancer, per mig de la següent série:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

Esta série convege absolutament a una funció holomorfa de τ en el semiplano superior i la seua expansió de Fourier donada avall mostra que pot extendese a una funció holomorfa τ = i∞. És un fet remarcable que la série de Eisenstein és una forma modular. De fet, la propietat clau està en la seua SL(2, $\mathbb{Z}$)-invarianza. Explícitament si a, b, c, d ∈ $\mathbb{Z}$ i ad − bc = 1 llavors

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau )$