Seqüència llineal recurrent

En matemàtiques, es denomina seqüència llineal recurrent d'orde p a qualsevol successió en valors en un camp conmutativo K (per eixemple ℝ o ℂ; solament es considerarà el primer cas en este artícul) definits per a tot

$n\ge n_0$

per una relació de recurrencia llineal de la forma

$\mathrm{\forall }n\ge n_0{u}_{n+p}=a_0{u}_n+a_1{u}_{n+1}+\cdots +a_{p-1}{u}_{n+p-1}$

a on

$a_0$

,

$a_1$

, ...

$a_{p-1}$

són p escalares fixos de K (en

$a_0$

no nul).

Tal seqüència està completament determinada per les senyes dels seus primers térmens p i per la relació de recurrencia.

Les seqüències recurrents llineals d'orde 1 són les progressions geomètriques.

L'estudi de seqüències llineals recurrents d'orde superior es reduïx a un problema d'àlgebra llineal. L'expressió del terme general de dita seqüència és possible sempre que es puga factorizar un polinomi associat en ell, denominat polinomi característic; el polinomi característic associat en una seqüència que verifica la relació de recurrencia anterior és:

$P(X)=X^p-\sum _{i=0}^{p-1}{a}_i{X}^i=X^p-a_{p-1}{X}^{p-1}-a_{p-2}{X}^{p-2}-\dots -a_{1}X-a_0.$

El seu grau és, per lo tant, igual a l'orde de la relació de recurrencia. En particular, en el cas de seqüències d'orde 2, el polinomi és de grau 2, i per lo tant, pugues factorizarse utilisant el càlcul del seu discriminante. En conseqüència, el terme general de seqüències llineals recurrents d'orde 2 pot expressar-se utilisant solament els dos primers térmens, alguns valors constants, algunes operacions elementals d'aritmètica (suma, resta, multiplicació, exponencial) i el sen i coseno (si el cos escalar és el cos real). Una d'estes seqüències és la famosa successió de Fibonacci, que pot expressar-se a partir de potències que involucren la proporció áurea.

Seqüència llineal recurrent d'orde 1

Les seqüències recurrents llineals d'orde 1 són les progressions geomètriques.

Si la relació de recurrencia és $u_{n+1}=q{u}_n$, el terme general és $u_n=u_{n_0}{q}^{n-n_0}$.

Seqüència llineal recurrent d'orde 2

Si a i b són dos escalares fixos de K, en b distint de zero, la relació de recurrencia és

$u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n(R).$

Els escalares r tals que la seqüència $(r^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es verifiquen en (R) són les solucions de l'equació quadràtica $r^2-ar-b=0$ . El polinomi $X^2-aX-b$ llavors es diu el polinomi característic de la seqüència. El seu discriminante és $\Delta =a^2+4b$ . Després es deuran distinguir varis casos, depenent del número de raïls del polinomi característic.

El cas 1 ocorre per eixemple si $K=ℝ$ i si el discriminante $\Delta =a^2+4b$ és estrictament positiu, o si $K=ℂ$ i $\Delta \ne 0$ . Ademés, si les dos raïls $r_1,r_2$ del polinomi $X^2-aX-b$ són dos complexos conjugats $\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ i $\rho {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$, llavors el terme general de dita seqüència també s'escriu:

• ${\rho }^n(A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ))$ en els paràmetros A i B en K ( $=ℝ$ o $ℂ$, depenent de si s'està interessat en seqüències reals o complexes) determinat pels dos primers valors de la seqüència.

El cas 2 ocorre quan $\Delta =0$ i després la raïl doble és $r_0=\frac{a}{2}$ .

No es pert res de la generalitat de la seqüència suponent que es definix en tots ℕ i no solament en $n_0$. De fet, l'estudi d'una seqüència o que solament es definix a partir de $n_0$ es reduïx a la de la seqüència v definida en ℕ per $v_n=u_{n+n_0}$ .

Identitats notables

Si una seqüència o verifica que

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n(R)$

llavors pot estendre's a índexs negatius i vincular-se a les potències de la matriu

$P:=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 0\end{array}\right)$

(invertible ya que b ≠ 0) per:

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ u_n\end{array}\right)=P^n\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_0\end{array}\right)$ .

Açò permet mostrar que para v igual a o o qualsevol atra seqüència que satisfaça la mateixa relació de recurrencia (R) i per a tots els sancers i, j, k, l r:

$i+j=k+l\Rightarrow u_{i+r}{v}_{j+r}-u_{k+r}{v}_{l+r}=(-b{)}^r(u_i{v}_j-u_k{v}_l)$ .

En particular:

$\text{si }{u}_0=0\text{ entonces}\mathrm{\forall }m,n,r\in \mathbb{Z}{u}_n{v}_{m+r}-u_r{v}_{m+n}=(-b{)}^r{u}_{n-r}{v}_m$ .