Simetria conforme

En física teòrica, la simetria conforme és la propietat d'algunes teories físiques de ser invariantes baixe una transformació conforme, una transformació que no altera la mida dels ànguls.

Transformacions conformes

Una transformació conforme és un difeomorfismo o «canvi de coordenades» que transforma la mètrica de l'espai en un múltiple de sí mateixa. En coordenades locals, vénen donades per una transformació de coordenades x → i(x) tal que:

$g{\text{'}}_{\mu \nu }(y)=\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial y^{\mu }}\frac{\partial x^{\rho }}{\partial y^{\nu }}{g}_{\sigma \rho }(x)=\Omega (x)g_{\mu \nu }(y),$

a on Ω és una funció estrictament positiva. El grup de totes les transformacions conformes és el grup conforme. Les isometría, les transformacions que conserven la mètrica, són transformacions conformes per a les que Ω val exactament 1. Les transformacions conformes conserven ànguls.

En particular, en un espai euclídeo o minkowskiano, la transformació x → λ·x a on λ és una constant positiva, denominada «d'escala» o dilatació, és una transformació conforme en Ω constant i igual a λ². No obstant el grup conforme conté atres transformacions, com les transformacions conformes especials:

$\overrightarrow{x}\to \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\cdot x^2}{1-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}+a^2{x}^2},$

a on a és un vector arbitrari.

Eixemples

Camp escalar

L'acció de camp escalar sense massa en l'espai de Minkowski és:

$S=\frac{1}{2}\int d^{n}x{\partial }_{\mu }\phi {\partial }^{\mu }\phi$

Donada una transformació conforme f, el valor de l'acció per a no canvia en substituir φ(x) per φ^f(x), a on la forma precisa de φ^f(x) per a una isometría Λ o una dilatació λ és:

Bibliografia

• Itzykson, Claude; Zuber, {{{nom2}}} (1980). Quàntum Field Theory (en anglés), McGraw-Hill International Book Co.. ISBN 0-07-032071-3. Capítul 13-2.