Sistema lagrangiano

En matemàtiques, un sistema lagrangiano és un parell (I, L), que consistix en un fibrado suau I → X i una densitat lagrangiana L, lo que fa que l'operador diferencial de Euler-Lagrange actue en seccions de I → X.

En mecànica clàssica, molts sistemes dinàmics són sistemes lagrangianos. L'espai de configuració de dit sistema lagrangiano és un fes de fibres Q → ℝ en l'eix de temps sobre ℝ. En particular, Q = ℝ × M si un marc de referència és fix. En teoria clàssica de camps, tots els sistemes de camp ho són de Lagrange.

Lagrangianos i operadors de Euler-Lagrange

Una densitat lagrangiana L (o, simplement, un lagrangiano) d'orde r es definix com una n-forma, n = dim X, de varietats de jets orde r J^rI sobre I.

Un lagrangiano L pot ser introduït com un element del bicomplejo variacional del àlgebra graduada diferencial O^∗_∞(I) de formes exteriors en la varietat de jets de I → X. l'operador cohomólogo d'este bicomplejo conté l'operador variacional δ que, actuant en L, definix l'operador associat de Euler-Lagrange δL.

En coordenades

Donat el fes coordenado x^λ, iⁱ en un fes de fibres I i les coordenades adaptades x^λ, iⁱ, iⁱ_Λ, (Λ = (λ₁, ...,λ_k), |Λ| = k ≤ r) en les varietats de jets J^rI, un lagrangiano L i el seu operador de Euler-Lagrange s'expressen com

$L=ℒ(x^{\lambda },y^i,y_{\Lambda }^i)d^{n}x,$

$\delta L={\delta }_iℒd{y}^i\wedge d^{n}x,{\delta }_iℒ={\partial }_iℒ+\sum _{|\Lambda |}(-1{)}^{|\Lambda |}{d}_{\Lambda }\underset{i}{\overset{\Lambda }{\partial }}ℒ,$

a on

$d_{\Lambda }=d_{{\lambda }_1}\cdots d_{{\lambda }_k},d_{\lambda }={\partial }_{\lambda }+y_{\lambda }^i{\partial }_i+\cdots ,$

denoten les derivades totals.

Per eixemple, un lagrangiano de primer orde i el seu operador de Euler-Lagrange de segon orde prenen la forma

$L=ℒ(x^{\lambda },y^i,y_{\lambda }^i)d^{n}x,{\delta }_{i}L={\partial }_iℒ-d_{\lambda }\underset{i}{\overset{\lambda }{\partial }}ℒ.$

Equacions de Euler-Lagrange

El núcleu d'un operador de Euler-Lagrange proporciona les equacions de Euler-Lagranges δL = 0.

Cohomología i les teoremes de Noether

Una cohomología del bicomplejo variacional conduïx a l'anomenada fòrmula variacional

$dL=\delta L+d_H{\Theta }_L,$

a on

$d_H{\Theta }_L=d{x}^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\varphi ,\varphi \in O_{\mathrm{\infty }}^{*}(Y)$

és el diferencial total i θ_L és un equivalent de Lepage de L. El teorema de Noether i el segona teorema de Noether són corolaris d'esta fòrmula variacional.

Varietats classificades

Estés a varietats classificades, el bicomplejo variacional proporciona una descripció dels sistemes lagrangianos classificats de variables parells i impars.

Formulació alternatives

De manera diferent, els operadors lagrangianos, els de Euler-Lagrange i les equacions de Euler-Lagrange s'introduïxen en el marc del càlcul de variacions.

Mecànica clàssica

En la mecànica clàssica, les equacions de moviment són equacions diferencials de primer i segon orde en una varietat M o varis fas de fibres Q sobre ℝ. Una solució de les equacions de moviment es diu moviment.

Vore també

• Mecànica lagrangiana
• Càlcul de variacions
• Teorema de Noether
• Identitats de Noether
• Fes de jets
• Jet
• Bicomplejo variacional

Bibliografia

• (1989).«Mathematical Methods of Classical Mechanics».Springer Science+Business Mija.60
• (1997) New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory, World Scientific. ISBN 981-02-1587-8.
• (2011) Geometric formulation of classical and quàntum mechanics, World Scientific. ISBN 978-981-4313-72-8.
• Olver, P. (1993). Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2 edició, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
• Sardanashvily, G. (2013). “Graded Lagrangian formalism”. Int. G. Geom. Methods Mod. Phys. 10 (5). World Scientific. doi:10.1142/S0219887813500163. ISSN 0219-8878.