Jet (matemàtiques)

En matemàtiques, el terme jet fa referència a un operador que aplicat sobre una funció diferenciable f, torna el polinomi corresponent a la série de Taylor truncada en cada punt del domini de f. Encara que esta és la definició d'un jet, la teoria de jets considera estos térmens com polinomis abstractes i no com a funcions polinòmiques.

Este artícul descriu en primer lloc la noció d'un jet d'una funció de variable real i valors reals, seguida d'una discussió de generalisacions per a múltiples variables reals. A continuació, proporciona una construcció rigorosa dels jets i d'espais de jets sobre l'espai euclídeo. Conclou en una descripció d'estos operadors sobre varietats, i cóm es poden construir intrínsecament. En este context més general, resumix algunes de les aplicacions dels jets a la geometria diferencial i a la teoria d'equacions diferencials.

Etimologia del terme

El terme jet procedix de la translació abreviada de la paraula francesa surjective (aplicació d'un conjunt en un atre element a element) a l'anglés.^[1]

Jets de funcions entre espais euclídeos

Abans de donar una definició rigorosa d'un jet, és útil examinar alguns casos especials.

Cas unidimensional

Suponga's que $f : ℝ \to ℝ$ és una funció de valor real que té a lo manco k + 1 derivadas en un entorn O del punt $x_{0}$ . En conseqüència, segons la teorema de Taylor,

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \dots + \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} + \frac{R_{k + 1} (x)}{(k + 1)!} (x - x_{0})^{k + 1}

a on

| R_{k + 1} (x) | \leq \sup_{x \in U} | f^{(k + 1)} (x) | .

Llavors el k- jet de f en el punt $x_{0}$ es definix com el polinomi

(J_{x_{0}}^{k} f) (z) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) z + \dots + \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} z^{k} .

Els jets normalment es consideren com polinomis abstractes en la variable z, no com a funcions polinòmiques reals en eixa variable. En atres paraules, z és una variable indeterminada que permet realisar vàries operacions algebraiques entre els jets. De fet, és el punt base $x_{0}$ del com els jets deriven la seua dependència funcional. Per lo tant, en variar el punt base, un jet produïx un polinomi d'orde com a molt 'k' en cada punt. Açò marca una distinció conceptual important entre jets i séries de Taylor truncades: normalment es considera que una série de Taylor depén funcionalment de la seua variable, en lloc del seu punt base. Els jets, per un atre costat, separen les propietats algebraiques de les séries de Taylor de les seues propietats funcionals. Les raons i aplicacions d'esta separació es tracten més alvance en l'artícul.

Assignació d'un espai euclidiano en un atre

Suponga's que $f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ és una funció d'un espai euclidiano en un atre, que té a lo manco (k + 1) derivades. En este cas, el teorema de Taylor afirma que

f (x) = f (x_{0}) + (D f (x_{0})) \cdot (x - x_{0}) + \frac{1}{2} (D^{2} f (x_{0})) \cdot (x - x_{0})^{\otimes 2} + \dots + \frac{D^{k} f (x_{0})}{k!} \cdot (x - x_{0})^{\otimes k} + \frac{R_{k + 1} (x)}{(k + 1)!} \cdot (x - x_{0})^{\otimes (k + 1)} .

El k-jet de f es definix llavors com el polinomi

(J_{x_{0}}^{k} f) (z) = f (x_{0}) + (D f (x_{0})) \cdot z + \frac{1}{2} (D^{2} f (x_{0})) \cdot z^{\otimes 2} + \dots + \frac{D^{k} f (x_{0})}{k!} \cdot z^{\otimes k}

en $ℝ [z]$ , a on $z = (z_{1}, \dots, z_{n})$ .

Propietats algebraiques dels jets

Hi ha dos estructures algebraiques bàsiques que els jets poden soportar. La primera és una estructura de producte, encara que finalment resulta ser la menys important. La segona és l'estructura de composició dels jets.

Si $f, g : ℝ^{n} \to ℝ$ són un parell de funcions en valors reals, llavors es pot definir el producte dels seus jets a través de

J_{x_{0}}^{k} f \cdot J_{x_{0}}^{k} g = J_{x_{0}}^{k} (f \cdot g)

.

Ací s'ha suprimit la z indeterminada, ya que s'entén que els jets són polinomis formals. Este producte és solament el producte de polinomis ordinaris en z, mòdul $z^{k + 1}$ . En atres paraules, és una multiplicació en l'anell $ℝ [z] / (z^{k + 1})$ , a on $(z^{k + 1})$ és l'ideal generat per polinomis homogéneus d'orde ≥ k+1.

Sobre la composició de jets, per a evitar tecnicismos innecessaris, es consideren jets de funcions que assignen l'orige a l'orige. Si $f : ℝ^{m} \to ℝ^{ℓ}$ i $g : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ en f(0)=0 i g(0)=0, llavors $f \circ g : ℝ^{n} \to ℝ^{ℓ}$ . La composició de jets es definix per $J_{0}^{k} f \circ J_{0}^{k} g = J_{0}^{k} (f \circ g) .$

Es verifica fàcilment, utilisant la regla de la cadena, que açò constituïx una operació associativa no conmutativa en l'espai dels jets en l'orige.

De fet, la composició de k-jets no és més que la composició del mòdul polinomial sobre l'ideal de polinomis homogéneus d'orde $> k$ .

Eixemple:

En una dimensió, siguen $f (x) = \log (1 - x)$ i $g (x) = \sin x$ . Llavors

(J_{0}^{3} f) (x) = - x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}

(J_{0}^{3} g) (x) = x - \frac{x^{3}}{6}

i

(J_{0}^{3} f) \circ (J_{0}^{3} g) = - (x - \frac{x^{3}}{6}) - \frac{1}{2} {(x - \frac{x^{3}}{6})}^{2} - \frac{1}{3} {(x - \frac{x^{3}}{6})}^{3} (mod x^{4})

= - x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6}

Vore també

Referències

↑ Steven Schwartzman (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, MAA, pp. 215 de 261. ISBN 9780883855119.

Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [i uns atres], "Simetria i lleis de conservació per a equacions diferencials de física matemàtica", American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operacions naturals en geometria diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993 .ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
Saunders, D. J., La Geometria de Jet Bundles , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Olver, P. J., Equivalència, invariantes i simetria , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
Sardanashvily, G., "Geometria diferencial alvançada per a teòrics: paquets de fibra, colectors de chorrada i teoria de Lagrange", Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv: 0908.1886

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Jet (matemáticas)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[STEVEN-1] Steven Schwartzman (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, MAA, pp. 215 de 261. ISBN 9780883855119.

[1]