Teorema òptica

En física, la teorema òptica és una llei general de la teoria de la dispersió d'ones, que relaciona l'amplitut de dispersió cap a davant en la secció eficaç de dispersió total. Normalment s'escriu en la forma

σ_{t o t} = \frac{4 π}{k} I m f (0),

a on f(0) és l'amplitut de dispersió en un àngul 0, açò és, l'amplitut de l'ona dispersada en el centre d'una pantalla lluntana, i k és el vector d'ona en la direcció incident. Ya que la teorema òptica es demostra usant solament la conservació de l'energia, o, en mecànica quàntica, la conservació de la provabilitat, la teorema òptica té un gran ranc d'aplicació, i en mecànica quàntica $σ_{t o t}$ inclou tant la dispersió elàstica com la inelástica. Cal notar que la forma anterior és vàlida únicament quan l'ona incident és una ona plana, Werner Heisenberg va derivar una forma més general

I m f ({\hat{𝐤}}^{'}, \hat{𝐤}) = \frac{k}{4 π} \int f ({\hat{𝐤}}^{'}, {\hat{𝐤}}^{″}) f ({\hat{𝐤}}^{″}, \hat{𝐤}) d {\hat{𝐤}}^{″} .

Com a conseqüència de la teorema òptica, qualsevol objecte que disperse llum deuria tindre una amplitut de dispersió no nula cap a davant. No obstant, el camp observat en esta direcció és una suma de les ones incident i dispersada, que pot sumar zero.

Història

La teorema òptica va ser originalment inventat de forma independent per Wolfgang von Sellmeier i Lord Rayleigh en 1871. Lord Rayleigh va reconéixer l'amplitut de dispersió cap a davant en térmens del índex de refracció com

n = 1 + 2 π \frac{N f (0)}{k^{2}},

(a on N és la densitat de número de centres dispersores). Lord Rayleigh va usar esta fòrmula en un estudi sobre el color i la polarisació del cel.

Posteriorment l'equació es va aplicar a la teoria de la dispersió quàntica per varis científics, i va rebre el nom de relació de Bohr–Peierls–Placzek despuix d'una publicació de 1939. La primera referència publicada de la Teorema Òptica va ser en 1955 per Hans Bethe i Frederic de Hoffmann, despuix d'haver rebut el nom de el "conegut teorema de l'òptica" durant algun temps.

Demostració

La teorema es pot demostrar de manera prou directa del tractament d'una ona escalar. Si una ona plana incidix en un objecte, l'amplitut de l'ona a una gran distància de l'objecte és aproximadament

ψ (𝐫) \approx e^{i k z} + f (θ) \frac{e^{i k r}}{r} .

Els térmens superiors, en elevar al quadrat, s'anulen més ràpidament que $1 / r^{2}$ , i són despreciables a grans distàncies. Per a valors grans de $z$ i ànguls menuts, l'expansió de Taylor per a la distància és

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \approx z + \frac{x^{2} + y^{2}}{2 z} .

l'intensitat és proporcional al quadrat de l'amplitut $ψ$ . Aproximant $1 / r$ com $1 / z$ , es té

\begin{matrix} | ψ |^{2} & \approx {| e^{i k z} + \frac{f (θ)}{z} e^{i k z} e^{i k (x^{2} + y^{2}) / 2 z} |}^{2} \\ = 1 + \frac{f (θ)}{z} e^{i k (x^{2} + y^{2}) / 2 z} + \frac{f^{*} (θ)}{z} e^{- i k (x^{2} + y^{2}) / 2 z} + \frac{| f (θ) |^{2}}{z^{2}} . \end{matrix}

Despreciant el terme $1 / z^{2}$ i amprant $c + c^{*} = 2 Re c$ , es té

| ψ |^{2} \approx 1 + 2 Re [\frac{f (θ)}{z} e^{i k (x^{2} + y^{2}) / 2 z}] .

Supongam ara que integrem sobre una pantalla en el pla xy, a una distància lo suficientment chicoteta per a que es verifiquen les aproximacions d'àngul menut, pero suficientment gran per a poder integrar l'intensitat des de $- \infty$ fins a $\infty$ en un error despreciable. En òptica, açò és equivalent a incloure moltes franges del patró de difracció. Per a simplificar encara més el tractament, fem l'aproximació $f (θ) = f (0)$ . Obtenim

\int | ψ |^{2} d x d y \approx A + 2 Re [\frac{f (0)}{z} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k x^{2} / 2 z} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k y^{2} / 2 z} d y],

a on A és l'àrea de la superfície d'integració. Les exponencials es poden tractar com gaussianas, en lo que

\begin{matrix} \int | ψ |^{2} d a & = A - 2 Re [\frac{f (0)}{z} \frac{2 π z}{i k}] \\ = A - \frac{4 π}{k} Im [f (0)] . \end{matrix}

Esta és la provabilitat d'alcançar la pantalla si no hi haguera dispersió menys la cantitat $(4 π / k) Im [f (0)]$ , que per lo tant és la secció eficaç efectiva del centre dispersor.

Referències

R. G. Newton(1976).Am. J. Phys..44(7)

639–642.doi:10.1119/1.10324.

John David Jackson (1999). Classical Electrodynamics, Hamilton Printing Company. ISBN 0-471-30932-X.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema óptico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.