Teorema de Borsuk-Ulam

En matemàtiques, la teorema de Borsuk-Ulam afirma que qualsevol funció contínua d'una n-esfera en l'espai euclideo de dimensió n fa correspondre algun parell de punts antipodales al mateix punt (dos punts en una esfera es denominen antipodales si estan exactament en direccions opostes des del centre de l'esfera).

Formalment:

Si $f:S^n\to {ℝ}^n$ és contínua llavors existix un $x\in S^n$ tal que: $f(-x)=f(x)$.

El cas n = 1 pot ser ilustrat dient que en l'equador de la Terra —o en qualsevol atre círcul, com un meridiano o un tròpic— sempre hi ha un parell de punts oposts en la mateixa temperatura (suponent que la temperatura és contínua).

El cas n = 2 s'ilustra a sovint dient que en qualsevol moment, sempre hi ha un parell de punts antipodales (no necessàriament sobre l'equador) en la superfície de la Terra en iguals temperatures i pressions baromètriques.

Stanisław Ulam va ser el primer en conjeturar la teorema i posteriorment va ser demostrat per Karol Borsuk en 1933.

Existix una demostració elemental de que la teorema de Borsuk-Ulam implica el teorema del punt fix de Brouwer.

Corolaris

• Cap subconjunt de ℝⁿ és homeomorfo a Sⁿ.
• El Teorema del sándwich de cuixot: Per a qualssevol conjunts compactes $A_1,\dots ,A_n$ en ℝⁿ sempre es pot trobar un hiperplano que dividix cada u d'ells en dos subconjunts de mida igual.
• El Teorema de Lusternik-Schnirelmann: Si l'esfera Sⁿ és recoberta per n+1 conjunts oberts, llavors un d'estos conjunts conté un parell (x, −x) de punts antipodales. (Açò és equivalent a la teorema de Borsuk-Ulam)

Vore també

• Lema de Sperner
• Lema de Tucker

Bibliografia

• Fonamenta Mathematicae.20

p. 177-190.

• (2003) Using the Borsuk–Ulam theorem (en anglés), Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-00362-2.
• Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U..Moscow:
• Algebraic Topology.