Teorema de Darboux

Retrat de Jean-Gaston Darboux.

La teorema de Darboux és un teorema en el camp matemàtic de la geometria diferencial, i més específicament de les formes diferencials, generalisant parcialment el teorema de l'integració de Frobenius. És un resultat fonamental en varis camps, el principal el de la geometria simpléctica. La teorema es nomena en reconeiximent del matemàtic francés Jean Gaston Darboux que ho va establir en 1882 com la solució del problema de Pfaff i que també va provar un resultat anàlec en geometria de contacte.

La teorema afirma que totes les varietats simplécticas són localment simplectomórficas. Això significa, que para tota varietat d'eixe tipo de dimensió 2n existix un homeomorfisme en l'espai llineal simpléctico $({ℝ}^{2n},{\omega }_0)$ dotat de la forma simpléctica canònica ω₀. Equivalentemente la teorema implica que en un entorn de qualsevol punt pot definir-se un conjunt de coordenades canòniques.

Enunciat de la teorema

L'enunciat precís del problema és el següent:

Siga $(ℳ,\omega )$ una varietat simpléctica de dimensió 2n, a on en $\omega$ és la 2-forma simpléctica. Llavors per a cada punt $P\in ℳ$ existix una carta local $(U_P,\{p_i,q_i{\}}_{i=\mathrm{1...}n})$ que conté a P tal que ω té la forma:

Enunciat més formalment

Per a cada punt d'una varietat simpléctica existix una carta local $\varphi :U_P\to {ℝ}^{2n}$ tal que si $\omega$ és el pullback de la forma simpléctica canònica ${\omega }_0$ de ${ℝ}^{2n}$ llavors:

La carta local O_P es diu carta local de Darboux al voltant de P. La varietat simpléctica $(ℳ,\omega )$ pot ser recoberta per mig d'un recobriment format per cartes de Darboux. El conjunt de coordenades de Darboux es diuen usualment en mecànica hamiltoniana, coordenades canòniques.

Comparació en la geometria riemanniana

Este resultat implica que no existixen invariantes locals en geometria simpléctica. Sempre es pot triar un sistema de coordenades canòniques o coordenades de Darboux, siga com siga el punt, és dir, tots els punts presenten certa equivalència. Açò contrasta en la situació en geometria riemanniana a on per eixemple la curvatura és un invariante local que permet distinguir uns punts d'uns atres. En una varietat riemanniana poden triar-se sempre coordenades que facen que en un punt concret la mètrica siga idèntica a la euclídea, pero en general açò no és possible en tot un entorn del punt. En canvi en una varietat simpléctica les coordenades que fan de la forma simpléctica la canònica poden estendre's a tot un entorn del punt.

Vore també

• Varietat simpléctica
• Mecànica hamiltoniana.
• Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie, una generalisació de la teorema de Darboux.

Referències

c en l'interval