Teorema de Riemann (séries)

En matemàtiques, la Teorema de Riemann sobre la reordenació de séries convergents, cridat aixina en honor al matemàtic alemà Riemann, diu que si una série infinita d'número real és condicionalmente convergent, llavors els seus térmens poden ser permutats de modo que la nova série convergixca a un número real arbitrari, o divergixca.

La série 1 – 1 + 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/3 + ... , per eixemple, convergix a 0, pero si es pren la série en valor absolut, és dir, reemplaçant cada terme en el seu valor absolut, s'obté la série 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ... , que divergix. Per això la série original és condicionalmente convergent, i pot ser reordenada per a donar una série que convergix a una suma diferent, com per eixemple: 1 + 1/2 – 1 + 1/3 + 1/4 – 1/2 + ... = ln 2. En general, utilisant este procediment en p positius seguit per q negatius dona la suma ln(p/q). Atres reordenació poden sumar un número real distint, o infinit.

Definicions

Una série ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix si existix un valor $\ell$ tal que la successió de sumes parcials de dita série convergix a $\ell$

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^k{a}_n=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_k=\ell$

açò significa que per a qualsevol $\epsilon >0$ existix un sancer $n_o$ tal que si $n\ge n_o$ llavors $|S_k-\ell |\le \epsilon$

Una série convergix condicionalmente si la série ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és convergent pero ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ divergix.

Una permutació és una biyección dins del conjunt dels número natural, és dir, de naturals en naturals. Donada una permutació $\sigma$, per a qualsevol número natural $b$ existix un únic $a$ natural tal que $\sigma (a)=b$ , i per l'inyectividad de la permutació si $x=y$ llavors $\sigma (x)=\sigma (y)$.

Teorema

Siga $\{a_n\}$ una successió de número real, ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ una série condicionalmente convergent, i $M$ un número real donat. Existix una permutació $\sigma$ tal que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}=M$.

També existix una permutació $\omega$ que complix

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\omega (n)}=\mathrm{\infty }.$

En atres paraules, els térmens de la suma poden reordenarse per a que esta convergixca a qualsevol número real o divergixca.

Vore també

• Série convergent
• Convergència absoluta
• Bernhard Riemann
• Llímit d'una successió