Teorema de l'inversió de Fourier

En matemàtiques, la teorema de l'inversió de Fourier diu que per a molts tipos de funcions és possible recuperar una funció a partir de la seua transformada de Fourier. Intuitivamente, pot vore's com l'afirmació de que si es coneix tota l'informació relativa a la freqüència i la fase d'una ona, llavors es pot reconstruir en precisió l'ona original.

La teorema diu que si es té una funció $f:ℝ\to ℂ$ que satisfà certes condicions, i s'usa la convenció de la transformada de Fourier segons la que

$(ℱf)(\xi ):=\underset{ℝ}{\int }{e}^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)dy,$

llavors

$f(x)=\underset{ℝ}{\int }{e}^{2\pi ix\cdot \xi }(ℱf)(\xi )d\xi .$

En atres paraules, la teorema diu que

$f(x)=\underset{ℝ}{\int }\underset{ℝ}{\int }{e}^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }f(y)dyd\xi .$

Esta última equació es denomina teorema integral de Fourier.

Una atra forma d'establir la teorema és observar que si $R$ és l'operador de bolcat, és dir, $(Rf)(x):=f(-x)$, llavors

${ℱ}^{-1}=ℱR=Rℱ.$

La teorema es complix si tant $f$ com la seua transformada de Fourier són absolutament integrables (en el sentit de l'integral de Lebesgue) i $f$ és contínua en el punt $x$. No obstant, inclús en condicions més generals, es dispon de versions de la teorema de l'inversió de Fourier. En estos casos, les integrals anteriors poden no tindre sentit, o la teorema pot ser vàlit para casi tots els $x$ en lloc de para tot $x$.

Condicions

En esta secció se supon que $f$ és una funció contínua integrable. S'usa la convenció per a la transformada de Fourier per la que

$(ℱf)(\xi ):=\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)dy.$

Ademés, se supon que la transformada de Fourier també és integrable.

Transformada de Fourier inversa com a integral

L'afirmació més comuna de la teorema d'inversió de Fourier és establir la transformació inversa com una integral. Per a qualsevol funció integrable $g$ i tot el conjunt de $x\in {ℝ}^n$

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{2\pi ix\cdot \xi }g(\xi )d\xi .$

Llavors, per a tots els x∈ℝⁿ es té que

${ℱ}^{-1}(ℱg)(x)=g(x).$

Teorema integral de Fourier

La teorema es pot replantejar com

$f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }f(y)dyd\xi .$

Si f té un valor real, en prendre la part real de cada costat de l'expressió anterior, s'obté

$f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }\cos (2\pi (x-y)\cdot \xi )f(y)dyd\xi .$

Transformada inversa en térmens de l'operador de bolcat

Per a qualsevol funció $g$ es definix l'operador de bolcat $R$ per

$Rg(x):=g(-x).$

Llavors, en el seu lloc, es pot definir

${ℱ}^{-1}f:=Rℱf=ℱRf.$

És immediat a partir de la definició de la transformada de Fourier i de l'operador de bolcat que tant $Rℱf$ com $ℱRf$ coincidixen en la definició integral de ${ℱ}^{-1}f$, i en particular són iguals entre sí i satisfan ${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x)$.

Teéngase en conte també que a partir de $Rf=R{ℱ}^{-1}ℱf=RRℱℱf$ es té que $R={ℱ}^2$ i

${ℱ}^{-1}={ℱ}^3.$

Invers de dos costats

La forma de la teorema d'inversió de Fourier indicat anteriorment, com és comuna, adopta la forma

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x).$

En atres paraules, ${ℱ}^{-1}$ és un invers cap a l'esquerra per a la transformada de Fourier. No obstant, també és un invers cap a la dreta per a la transformada de Fourier, és dir

$ℱ({ℱ}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).$

Com ${ℱ}^{-1}$ és molt similar a $ℱ$, açò es deduïx molt fàcilment de la teorema de l'inversió de Fourier (variables intercanviables $\zeta :=-\zeta$):

$\begin{array}{cc}f& ={ℱ}^{-1}(ℱf)(x)\\ & =\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{2\pi ix\cdot \xi }{e}^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)dyd\xi \\ & =\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-2\pi ix\cdot \zeta }{e}^{2\pi iy\cdot \zeta }f(y)dyd\zeta \\ & =ℱ({ℱ}^{-1}f)(x).\end{array}$

Alternativament, açò pot vore's a partir de la relació entre ${ℱ}^{-1}f$ i l'operador de volteo i la propietat associativa de la funció composta, ya que

$f={ℱ}^{-1}(ℱf)=ℱRℱf=ℱ({ℱ}^{-1}f).$

Condicions sobre la funció

Quan s'usa en física i ingenieria, la teorema d'inversió de Fourier a sovint s'usa baix el supòsit de que tot "es comporta ben". En matemàtiques, tals arguments heurístics no estan permesos, i la teorema de l'inversió de Fourier inclou una especificació explícita de quina classe de funcions es permeten. No obstant, no hi ha una "millor" classe de funcions per a considerar, per lo que existixen vàries variants de la teorema de l'inversió de Fourier, encara que en conclusions compatibles.

Funcions de Schwartz

La teorema d'inversió de Fourier s'aplica a tots els espais de Schwartz (en térmens generals, funcions suaus que decauen ràpidament i que les seues derivades decauen ràpidament). Esta condició té el benefici de que és una afirmació directa elemental sobre la funció (en oposició a impondre una condició en la seua transformada de Fourier), i l'integral que definix la transformada de Fourier i la seua inversa són absolutament integrables. Esta versió de la teorema s'usa en la demostració de la teorema de l'inversió de Fourier per a distribucions temperadas (vore més avall).

Funcions integrables en transformada de Fourier transformable

La teorema de l'inversió de Fourier es complix per a totes les funcions contínues que són absolutament integrables (és dir, $L^1({ℝ}^n)$) en transformada de Fourier absolutament integrable. Açò inclou totes les funcions de Schwartz, per lo que és una forma estrictament més forta de la teorema que l'anterior. Esta condició és l'utilisada en la secció corresponent.

Una llaugera variant és abandonar la condició de que la funció $f$ siga contínua, pero aixina i tot es requerix que la pròpia funció i la seua transformada de Fourier siguen absolutament integrables. Després $f=g$ casi en tots els llocs a on g és una funció contínua i ${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=g(x)$ per a cada $x\in {ℝ}^n$.

Funcions integrables en una dimensió

Uniforme per parts; una dimensió

Si la funció és absolutament integrable en una dimensió (és dir, $f\in L^1(ℝ)$) i és contínua per parts, es complix una versió de la teorema de l'inversió de Fourier. En este cas es definix

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{R}{\int }}{e}^{2\pi ix\xi }g(\xi )d\xi .$

Llavors per a tots els $x\in ℝ$

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=\frac{1}{2}(f(x_{-})+f(x_{+})),$

és dir, ${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)$ és igual al promig dels llímits esquerre i dret de $f$ en $x$. Tinga's en conte que en els punts a on $f$ és contínua, açò simplement equival a $f(x)$.

Un anàlec en dimensions més altes d'esta forma de la teorema també es complix, pero segons Folland (1992) és "prou delicat i no especialment útil".

Contínua per parts; una dimensió

Si la funció és absolutament integrable en una dimensió (és dir, $f\in L^1(ℝ)$) pero simplement és contínua per parts, encara es manté una versió de la teorema de l'inversió de Fourier. En este cas, l'integral en la transformada de Fourier inversa es definix en l'ajuda d'una funció de cort suau en lloc d'una aguda. Específicament, es definix

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\phi (\xi /R)e^{2\pi ix\xi }g(\xi )d\xi ,\phi (\xi ):=e^{-{\xi }^2}.$

La conclusió de la teorema és llavors la mateixa que per al cas uniforme per parts discutit anteriorment.

Continu; qualsevol número de dimensions

Si $f$ és contínua i absolutament integrable en ${ℝ}^n$, llavors la teorema d'inversió de Fourier encara es manté sempre que es definixca novament la transformació inversa en una funció de cort suau, és dir,

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }\phi (\xi /R)e^{2\pi ix\cdot \xi }g(\xi )d\xi ,\phi (\xi ):=e^{-|\xi {|}^2}.$

La conclusió ara és simplement que para tots els $x\in {ℝ}^n$

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x).$

Sense condicions de regularitat; qualsevol número de dimensions

Si s'eliminen totes les suposicions sobre la continuïtat (per parts) de $f$ i se supon simplement que és absolutament integrable, llavors una versió de la teorema encara es complix. La transformació inversa es definix de nou en el tall suau, pero en la conclusió de que

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x)$

para casi en tots els llocs de $x\in {ℝ}^n$

Funcions integrables quadràtiques

En este cas, la transformada de Fourier no pot definir-se directament com una integral, ya que pot no ser absolutament convergent, per lo que es definix en canvi per un argument de densitat (vore transformada de Fourier). Per eixemple, disponent

$g_k(\xi ):=\underset{\{y\in {ℝ}^n:\left|y\right|\le k\}}{\int }{e}^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)dy,k\in \mathbb{N},$

es pot establir $ℱf:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_k$ a on el llímit es pren en la norma $L^2$. La transformació inversa pot definir-se per densitat de la mateixa manera o definint-la en térmens de la transformada de Fourier i de l'operador de volteo. Llavors es té

$f(x)=ℱ({ℱ}^{-1}f)(x)={ℱ}^{-1}(ℱf)(x)$

para casi en tots els llocs de x∈ℝ.

Distribucions temperadas

La transformada de Fourier es pot definir en l'espai de distribucions temperadas ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ per la dualitat de la transformada de Fourier en l'espai de les funcions de Schwartz. Específicament, per a $f\in {𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ i per a totes les funcions de prova $\phi \in 𝒮({ℝ}^n)$ s'establix

$⟨ℱf,\phi ⟩:=⟨f,ℱ\phi ⟩,$

a on $ℱ\phi$ es definix usant la fòrmula integral. Si $f\in L^1({ℝ}^n)\cap L^2({ℝ}^n)$, açò està d'acort en la definició habitual. Es pot definir la transformació inversa ${ℱ}^{-1}:{𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)\to {𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$, ya siga per la dualitat de la transformació inversa en les funcions de Schwartz de la mateixa manera, o definint-la en térmens de l'operador de volteo (a on l'operador de volteo està definit per la dualitat). Llavors es té que

$ℱ{ℱ}^{-1}={ℱ}^{-1}ℱ={\mathrm{Id}}_{{𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)}.$

Bibliografia

• Folland, G. B. (1992). Fourier Analysis and its Applications, Belmont, CA, USA: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3.
• Folland, G. B. (1995). Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edició, Princeton, USA: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-04361-6.