Teorema dels tres moments

Teorema dels tres moments

La teorema dels tres moments o teorema de Clapeyron és una relació deduïda de la teoria de flexión de voltons i usada en anàlisis estructural per a resoldre certs problemes de flexión hiperestática. Va ser demostrat per Émile Clapeyron a principis de el XIX.

Enunciat

Donada un voltó continu de material elàstic llineal sobre varis respals simples, els moments flectores en tres respals consecutius satisfan la relació:

a on:

$M_k$, moment flector en el respal central, recolze k-ésimo.

$M_{k-1}$, moment flector en el respal a l'esquerra, respal (k-1)-ésimo.

$M_{k+1}$, moment flector en el respal a la dreta, respal (k+1)-ésimo.

$L_k$, llongitut del tram de voltó entre el respal (k-1)-ésimo i el respal k-ésimo

$L_{k+1}$, llongitut del tram de voltó entre el respal k-ésimo i el respal (k+1)-ésimo.

${\Omega }_k,{\Omega }_{k+1}$, àrea dels moments flectores isostáticos en els trams $L_k$ i $L_{k+1}$:

$D_k,d_k$ són les distàncies als centroides dels diagrames de moments flectores per la dreta i per l'esquerra; el producte d'estos per les àrees respectives es pot calcular com:

Casos particulars

Càrrega contínua i uniforme

Una fòrmula freqüentment amprada per a taulers de ponts, voltó i atres elements en una càrrega uniforme és un cas particular de la teorema dels tres moments:

Càlcul d'àrees i distàncies

Les fòrmules integrals (2) i (3) no resulten cómodes en el cas general, no obstant, per als casos més freqüents de càrrega és possible calcular l'àrea del diagrama de moments isostáticos de cada tram, i els centres de gravetat d'estes àrees. Per a un tram de llongitut L les magnituts anteriors són:

Fòrmules per a l'àrea i els centres de gravetat

Tipo de càrrega	$q_i(x)$	${ℳ}_{iso}^i(x)$	${\Omega }_i$	$D_i$	$d_i$
Uniforme	$q$	$\frac{q}{2}x(L-x)$	$\frac{q{L}^3}{12}$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$
Puntual	$P\delta (x-a),0\le a\le L$	___	$\frac{Pa(L-a)}{2}$	$\frac{L+a}{3}$	$\frac{2L-a}{3}$
Triangular Erro al crear miniatura:	$q\frac{x}{L}$	$\frac{q{L}^2}{6}[\frac{x}{L}-\frac{x^3}{L^3}]$ Archiu:Poutre appuis charge lineaire mf.svg	$\frac{q{L}^3}{24}$	$\frac{8L}{15}$	$\frac{7L}{15}$
Potencial	$q\frac{x^n}{L^n}$	___	$\frac{q{L}^3}{2(n+2)(n+3)}$	$\frac{2L}{3}\frac{n+3}{n+4}$	$\frac{L}{3}\frac{n+6}{n+4}$
Uniforme inicial Archiu:Poutre appuis charge initiale constant stat.svg	$\{\begin{array}{cc}q& 0\le x\le a\\ 0& a\le x\le L\end{array}$	___	$\frac{q{a}^2}{12}(3L-2a)$	$\frac{2L^2-a^2}{2(3L-2a)}$	$L-D_i$
Uniforme centrada Archiu:Poutre appuis charge centree constant stat.svg	$\{\begin{array}{cc}0& 0\le x\le \frac{L}{2}-c\\ q& \frac{L}{2}-c\le x\le \frac{L}{2}+c\\ 0& \frac{L}{2}+c\le x\le L\end{array}$	___	$qc(\frac{L^2}{4}-\frac{c^2}{3})$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$
Senoidal	$q_0\sin \frac{\pi x}{L}$	$\frac{q_0{L}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\pi x}{L}$	$\frac{2q_0{L}^3}{{\pi }^3}$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$
Triangular centrada Archiu:Poutre appuis console appuyee charge triangle stat.svg	$\{\begin{array}{cc}\frac{qx}{L}& 0\le x\le \frac{L}{2}\\ q-\frac{qx}{L}& \frac{L}{2}\le x\le L\end{array}$	___	$\frac{5q{L}^3}{192}$	$\frac{L}{2}$	$\frac{L}{2}$

Teorema dels dos moments

La teorema dels dos moments és similar pero relaciona el moment flector en dos respals consecutius pero requerix que un d'ells siga un empotramiento. Si es té un empotramiento a l'esquerra i un atre respal simple a la dreta, la teorema dels dos moments establix que la relació entre abdós és:

Expressió que pot obtindre's com case llímit de la teorema dels tres moments anterior fent ${\Omega }_k=0$ i $L_k\to 0$.

Si el empotramiento està a la dreta i el respal simple a l'esquerra l'expressió és:

Que també s'obté de l'expressió dels tres moments fent ${\Omega }_{k+1}=0$ i $L_{k+1}\to 0$

Càlcul de reaccions

Una volta determinats els moments hiperestáticos en ajuda de la teorema dels tres moments el càlcul de reaccions verticals en cada u dels respals es pot fer fàcilment en ajuda de la següent fòrmula:

A on algun dels térmens anteriors deu prendre's igual a zero en el cas dels respals extrems per ser inexistent. I a on:

${ℛ}_{(iso)}^{(k)-}$, és la reacció isostática en el respal de l'esquerra del k-ésimo va,

${ℛ}_{(iso)}^{(k)+}$, és la reacció isostática en el respal de la dreta del k-ésimo va.

Òbviament:

Vore també

• Método de distribució de moments
• Método de pendent-deflexión

Referències

Bibliografia

• Ortiz Berrocal, L., Resistència de materials, McGraw-Hill, 2002, ISBN 84-481-3353-6.