Transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert (en roig) d'una ona quadrada (en blava).

En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert $\mathscr{H}$ d'una funció real, $s(t)$, s'obté per mig de la convolución de les senyals $s(t)$ i $1/(\pi t)$, d'a on s'obté $\hat{s}(t)$. Per lo tant, la transformada de Hilbert $\hat{s}(t)$ es pot interpretar com l'eixida d'un sistema LTI en entrada $s(t)$ i resposta a l'impuls $1/(\pi t)$.

La transformada de Hilbert es nomena en honor del matemàtic alemà David Hilbert, que va anar el primer que va introduir l'operador en 1905 per a resoldre un cas especial del problema de Riemann-Hilbert per a les funcions holomórficas.

Aplicacions

És una ferramenta matemàtica útil per a descriure la envolvente complexa d'una senyal modulada en una portadora real. La seua definició és:

$\hat{s}(t)=\mathscr{H}\{s\}(t)=(h*s)(t)=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{s(\tau )}{t-\tau }d\tau .$

a on $h(t)=1/\pi t$, considerant l'integral com l'integral de Lebesgue (lo que evita la singularitat $\tau =t$).

Utilisant $\hat{s}(t)$, és possible construir la senyal analítica de s(t) com:

$s_a(t)=s(t)+i\hat{s}(t)$

La transformada de Hilbert posseïx una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:

$H(\omega )=ℱ\{h\}(\omega )=\{\begin{array}{cc}+j& \text{si }\omega <0\\ -j& \text{si }\omega >0\end{array}$

o, de manera equivalent:

$H(\omega )=ℱ\{h\}(\omega )=-j\cdot \mathrm{sgn}(\omega )$

$j$ (o també $i$) és l'unitat imaginària. I, com:

$ℱ\{\hat{s}\}(\omega )=H(\omega )\cdot ℱ\{s\}(\omega )$

la transformada de Hilbert produïx llavors l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de $s(t)$ +90° i les parts de freqüències positives −90°.

Transformada inversa de Hilbert

També, $H^2(\omega )=-1$, per lo que, multiplicant l'equació anterior per $-H(\omega )$, s'obté:

$ℱ\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot ℱ\{\hat{s}\}(\omega )$

d'a on s'obté la transformada inversa de Hilbert:

$s(t)=-(h*\hat{s})(t)=-\mathscr{H}\{\hat{s}\}(t).$

Eixemples de transformades

Senyal $s(t)$	Transformada de Hilbert $\mathscr{H}\{s\}(t)$
$\mathrm{sen}(t)$	$-\cos (t)$
$\cos (t)$	$\mathrm{sen}(t)$
$\frac{1}{t^2+1}$	$\frac{t}{t^2+1}$
$\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}$ Funció sinc	$\frac{1-\cos (t)}{t}$
$\sqcap (t)$ funció rectangular	$\frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}\right|$
$\delta (t)$ Funció delta de Dirac	$\frac{1}{\pi t}$