Verseno

Archiu:Versin plot.svg

Verseno

La funció verseno (en Llatí, sinus versus o sagitta, flecha) és una funció trigonométrica que es definix en l'equació

$\text{versin}(\theta )=1-\cos (\theta )=2{\text{sen}}^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$

Existixen tres funcions relacionades en el verseno:

El coverseno:

$\text{coversin}(\theta )=\text{versin}(\frac{\pi }{2}-\theta )=1-\text{sen}(\theta )$

El semiverseno:

$\text{semiversin}(\theta )=\frac{\text{versin}(\theta )}{2}={\text{sen}}^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$

El semicoverseno:

$\text{semicoversin}(\theta )=\text{semiversin}(\frac{\pi }{2}-\theta )=\frac{\text{coversin}(\theta )}{2}$

Història i aplicacions

Històricament, el verseno va ser considerat una de les funcions trigonométricas més importants, pero ha perdut renom en els temps moderns per la disponibilitat dels ordenadorés. Si θ tendix a zero, versen(θ) és la diferència entre dos cantitats molt paregudes, i caldria una taula trigonométrica molt exacta per a poder calcular el verseno, això fa convenient la creació de taules separades per al verseno. Una atra ventaja històrica del verseno és que mai és negatiu, aixina, el seu logaritmo està definit en tots els llocs llevat de θ = 0, 2π,... permetent aixina usar taules de logaritmos per a calcular les multiplicacions en les fòrmules que impliquen verseno.

El semiverseno, en particular, va ser important en navegació degut a que apareix en la fòrmula del semiverseno, usada per a calcular distàncies en exactitut quan es donen les posicions angulars en una esfera (la llongitut i la latitut).

La taula trigonométrica més antiga que es conserva, d'entre els sigles IV i V, cridada Siddhantas i provinent de l'Índia, solament tenia valors del sen i del verseno (en increments de 3.75° des de 0 fins a 90°). Això no és sorprenent ya que el verseno resulta d'un pas intermig per a calcular el sen de l'àngul mitat segons la fòrmula sense²(θ/2) = versen(θ)/2, que s'atribuïx a Ptolomeo.

Archiu:Versine.svg

sen, coseno, i verseno de θ sobre la base de la circumferència goniométrica.

El significat de la paraula verseno està reflectit en la definició gràfica de la circumferència goniométrica que es mostra en l'image. La cuerdo vertical AB de la circumferència goniométrica, el sen de l'àngul θ és la distància AC (la mitat de la corda). El verseno de θ és la distància CD des del centre de l'arc al centre de la corda (de l'arc cap al sen) o dit per Fibonacci en llatí sinus versus arcus.

Esta figura també ilustra el motiu pel que al verseno a sovint també se li crida flecha. El verseno CD és clarament la flecha entre la corda i l'arc.

La forma d'ona d'un periodo de la funció verseno i, més habitualment, la de la funció semiverseno, s'usen habitualment en processat de senyal i en teoria de control com la forma d'una finestra d'observació, per la seua suavitat (continuïtat tant en valor com en pendent (primera derivada). En estes aplicacions, se li crida també filtre del coseno realçat.

Verseno de curves i cordes arbitràries

El terme verseno també s'usa a voltes per a descriure la desviació d'una curva plana qualsevol respecte de la recta. Donada una cuerdo entre dos punts d'una curva, la llongitut des d'un punt de la corda fins al punt a on la perpendicular a la corda talla la curva, dona el verseno. Per a una llínea recta, el verseno de qualsevol corda és zero. Aixina el verseno caracterisa la rectitud de la curva. Este us és habitual en el ferrocarril, a on servix per a medir la rectitud o curvatura de la via férrea (Nair, 1972).

Vore també

• Funció trigonométrica

Referències

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics, 2nd ed. edició, New York: Wiley..

• «Earliest known uses of some of the words of mathematics (v)». Archivat des d'el original, el 4 d'octubre de 1999.

• «Trigonometry». Archivat des d'el original, el 2 d'octubre de 2007. Consultat el 14 d'agost de 2008.

• (1972).3(3)

159–166.ISSN 0020-8442.