Àlgebra de Hopf

En matemàtiques, un àlgebra de Hopf, cridada aixina en honor al matemàtic alemà Heinz Hopf, és una estructura algebraica que combina les propietats d'un àlgebra associativa en unitat i una coálgebra coasociativa en counidad, de manera compatible. Esta combinació dona lloc a una biálgebra, que ademés incorpora un antihomomorfismo denominat antípoda, el qual complix una identitat específica. Gràcies a l'existència d'una multiplicació, unitat, comultiplicación, counidad i antípoda compatibles, la teoria de representacions d'un àlgebra de Hopf permet construir representacions tensoriales, trivials i duals de forma natural.

Les àlgebra de Hopf sorgixen de manera natural en diverses àrees de les matemàtiques, especialment en la topología algebraica (a on es varen originar, en relació en els H-espais), aixina com en la teoria d'esquemes de grup, les àlgebra de grups i atres contexts algebraics. Es consideren el tipo més familiar de biálgebra. Ademés, s'investiguen tant pels seus eixemples concrets com pels seus problemes de classificació. També tenen aplicacions significatives en la física matemàtica, com en la física de l'estat sòlit, la teoria quàntica de camps i la teoria de cordes.

Definició formal

Un àlgebra de Hopf és una biálgebra (associativa i coasociativa) $H$ sobre un cos $K$, equipada en una aplicació $K$-llineal $S:H\to H$ (denominada antípoda) que complix el següent diagrama conmutativo:

Diagrama de l'antípoda

Ací, ∇ representa la multiplicació, η l'unitat, Δ la comultiplicación i ε la counidad de $H$. En la notació de Sweedler, la propietat fonamental s'expressa com:

$S(h_{(1)})h_{(2)}=h_{(1)}S(h_{(2)})=\epsilon (h)1\text{para todo }h\in H.$

La definició és autodual: si $H$ és de dimensió finita, la seua espai dual també admet una estructura natural d'àlgebra de Hopf.

Eixemples

Eixemple	Estructura subjacent	Coproducto	Counidad	Antípoda	¿Conmutativa?	¿Coconmutativa?	Observacions
Àlgebra de grup $KG$	Grup $G$	$\Delta (g)=g\otimes g$	$\epsilon (g)=1$	$S(g)=g^{-1}$	Sí ⇔ $G$ abeliano	Sí
Àlgebra de funcions $K^G$	Grup finito $G$	$\Delta (f)(x,y)=f(xy)$	$\epsilon (f)=f(e)$	$S(f)(x)=f(x^{-1})$	Sí	Sí ⇔ $G$ abeliano	Isomorfo al dual de $KG$. Operacions punt a punt.
Àlgebra tensorial $T(V)$	Espai vectorial $V$	$\Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v$	$\epsilon (v)=0$	$S(v)=-v$	Solament si $\dim V\le 1$	Sí	Extendible a les àlgebra simètrica i exterior.
Àlgebra envolvente universal $U(𝔤)$	Àlgebra de Lie $𝔤$	$\Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x$	$\epsilon (x)=0$	$S(x)=-x$	Sí ⇔ $𝔤$ abeliana	Sí
Àlgebra de Sweedler $H_4$	Cos $K$ de característica distinta de 2	$\Delta (c)=c\otimes c$, $\Delta (x)=c\otimes x+x\otimes 1$	$\epsilon (c)=1$, $\epsilon (x)=0$	$S(c)=c$, $S(x)=-cx$	No	No	Àlgebra de dimensió 4. Primer eixemple no conmutativo ni coconmutativo.

Vore també

• Àlgebra associativa
• Coálgebra
• Biálgebra
• Categoria monoidal

Bibliografia adicional

• Dăscălescu, N., Năstăsescu, C. & Raianu, Ș. (2001). *Hopf Algebras. An Introduction*. Marcel Dekker.
• Underwood, R. G. (2011). *An Introduction to Hopf Algebras*. Springer.
• Montgomery, S. (1993). *Hopf Algebras and Their Actions on Rings*. AMS.