Colecció localment finita

En el camp matemàtic de la topología, la finitud local és una propietat de les coleccions de subconjunts d'un espai topològic. És fonamental en l'estudi de la paracompacidad i la dimensió topològica.

Es diu que una colecció de subconjunts d'un espai topològic X és localment finita si cada punt en l'espai té un entorn que interseca una cantitat finita de conjunts en la colecció.

El terme localment finito té atres significats en atres camps matemàtics.

Eixemples i propietats

Una colecció finita de subconjunts d'un espai topològic és localment finita. Les coleccions infinites també poden ser localment finitas: per eixemple, la colecció de tots els subconjunts de R de la forma (n, n + 2) para tot sancer n. Una colecció numerable de subconjunts no té per qué ser localment finita, com en el cas de la colecció de tots els subconjunts de R de la forma (−n, n) para tot sancer n.

Si una colecció de conjunts és localment finita, la colecció de les clausura d'estos conjunts és també localment finita. La raó d'açò és que si un conjunt obert que interseca a un punt interseca la clausura d'un conjunt, llavors necessàriament interseca al propi conjunt, per lo que un entorn pugues intersecar com a molt el mateix número de clausura (pugues intersecar menys, ya que dos conjunts distints, inclús disjuntos, poden tindre la mateixa clausura). El recíproc, no obstant, pot fallar si les clausura dels conjunts no són distintes. Per eixemple en la topología cofinita en R la colecció de tots els conjunts oberts no és localment finita, pero la colecció de totes les clausura d'estos conjunts és localment finita (ya que les úniques clausura són R i el conjunt buit).

Espais compactes

Cap colecció infinita d'un espai compacte pot ser localment finita. Siga {G_a} una família infinita de subconjunts d'un espai i suponga's que esta colecció és localment finita. Per a cada punt x d'este espai, es tria un entorn O_x que interseque a la colecció {G_a} en una cantitat finita de valors de a. Clarament:

O_x per a cada x en X (l'unió sobre tots els x) és un recobriment obert en X

i per tant té un subrecubrimiento finito, O_a1 ∪ ...... ∪ O_an. Ya que cada O_ai interseca la colecció {G_a} en una cantitat finita de valors de a, l'unió de tots els O_ai interseca la colecció {G_a} en una cantitat finita de valors de a. Se seguix que X (l'espai complet) interseca la colecció {G_a} en una cantitat finita de valors de a, lo que contradiu la cardinalidad infinita de la colecció {G_a}.

Es diu que un espai topològic en el que tot recobriment obert admet un refinament obert localment finito és paracompacto. Tota colecció localment finita de subconjunts d'un espai topològic X és també punt-finita. Un espai topològic en el que tot recobriment obert admet un refinament obert punt-finito es diu metacompacto.

Espais segon-numerables

Cap recobriment no numerable d'un espai de Lindelöf pot ser localment finito, usant essencialment el mateix argument que en el cas d'espais compactes. En particular, cap recobriment no numerable d'un espai segon-numerable és localment finito.

Conjunts tancats

És clar per la definició d'una topología que una unió finita de conjunts tancats és tancada. Es pot donar fàcilment eixemples d'unions infinites de conjunts tancats que no són tancades. No obstant, si es considera una colecció localment finita de conjunts tancats, l'unió és tancada. Per a vore açò, notem que si x és un punt fòra de l'unió d'esta colecció localment finita de tancats, simplement elegim un entorn V de x que interseque esta colecció en una cantitat finita d'estos conjunts. Definim una aplicació biyectiva de la colecció de conjunts que interseca V en {1, ..., k}, donant aixina un índex a cada u d'estos conjunts. Llavors per a cada conjunt, elegim un conjunt obert O_i contenint a x que no lo interseque. L'intersecció de tots estos O_i per a 1 ≤ i ≤ k intersecada en V, és un entorn de x que no interseca l'unió d'esta colecció de conjunts tancats.

Referències

• Plantilla:Pàgina requerida