Configuració de vèrtiços
 Icosidodecaedro |
 Figura de vèrtiç representada com 3.5.3.5 o (3.5)2 |
En la geometria, una configuració de vèrtiços[1][2][3][4] és una notació concisa per a representar la figura de vèrtiç d'un poliedre o teselación com la seqüència de cares al voltant d'un vèrtiç. Per als poliedres uniformes hi ha solament un tipo de vèrtiç i, per lo tant, la configuració de vèrtiç definix per complet al poliedre (encara que existixen poliedres quirales en parelles enantiomorfas en la mateixa configuració de vèrtiç).
Una configuració de vèrtiç bàsica, composta únicament de polígons convexos, és donada com una seqüència de números representant el número de costats de les cares al voltant del vèrtiç. La notació a.b.c descriu un vèrtiç que té 3 cares entorn seu, en a, b, i c arestes respectivament. La notació també permet representar cares estrelades, que es denoten com a Plantilla:Frac quan conecten n vèrtiços de d en d. Per últim, si una cara Plantilla:Frac (en d a lo manco igual a 1) és retrògrada, és dir, si rodeja al vèrtiç en direcció oposta a les demés cares, es denomina Plantilla:Frac.[2]
Per eixemple, 3.5.3.5 indica un vèrtiç pertanyent a 4 cares, alternant triànguls i pentàgons. Esta configuració de vèrtiç definix, per lo tant, al isotoxal icosidodecaedro. La notació és cíclica i per això equivalent en punts de partida distints, de tal manera que 3.5.3.5 és lo mateix que 5.3.5.3. L'orde és important, aixina que 3.3.5.5 és diferent de 3.5.3.5. (La primera té dos triànguls seguits de dos pentàgons). Per motius de compacidad, els elements repetits es poden juntar com a exponents, aixina que este eixemple també pot representar-se com (3.5)2.
De manera similar, 3.Plantilla:Frac.Plantilla:Frac.Plantilla:Frac indica un vèrtiç pertanyent a 4 cares, alternant triànguls i decagramas, i en abdós triànguls recorrent el vèrtiç en direccions opostes. Per lo tant, esta configuració de vèrtiç definix al gran icosihemidodecaedro.
Este concepte ha segut denominat prèviament com a descripció de vèrtiç,[5][6][7] tipo de vèrtiç,[8][9] símbol de vèrtiç,[10][11] disposició de vèrtiç,[12] patró de vèrtiç,[13] vector de cara.[14] També es denomina símbol de Cundy i Rollett pel seu us per als sòlits arquimedianos en el seu llibre de 1952 Mathematical Models.[15][16][17][18]
Figures de vèrtiç
[editar | editar còdic]Una configuració de vèrtiç també es pot representar com una figura de vèrtiç poligonal que mostra les cares al voltant del vèrtiç. Esta figura de vèrtiç té una estructura tridimensional, ya que les cares no estan en el mateix pla quan es tracta de poliedres, pero per al cas dels poliedres d'arestes uniformes tots els vèrtiços veïns estan en el mateix pla, per lo que esta proyecció plana pot usar-se per a representar visualment la configuració de vèrtiços.
Variacions i usos
[editar | editar còdic] {3,3} = 33 Defecte 180° |
 {3,4} = 34 Defecte 120° |
 {3,5} = 35 Defecte 60° |
 {3,6} = 36 Defecte 0° |
 {4,3} Defecte 90° |
 {4,4} = 44 Defecte 0° |
 {5,3} = 53 Defecte 36° |
 {6,3} = 63 Defecte 0° |
| Un vèrtiç necessita a lo manco 3 cares, i un defecte angular. Un defecte angular de 0° implica un recobriment del pla euclídeo per mig d'un teselado regular. Segons el teorema de Descartes, el número de vèrtiços és 720°/defecte (4π radianes/defecte) | |||
S'utilisen diferents notacions, a voltes en una menge (,) i atres voltes en un punt separador (.). L'operador que marca el periodo és útil perque la seua configuració recorda a la d'un producte. i es pot associar a una notació exponencial. Per eixemple, és possible escriure 3.5.3.5 com (3.5)2.
La notació també pot considerar-se una forma expansiva dels símbols de Schläfli simples para poliedres regulars. La notació de Schläfli {p, q} significa q p-gonos al voltant de cada vèrtiç.
Llavors, {p, q} es pot escriure com a p.p.p ... (q voltes) o pq. Per eixemple, un icosaedre és {3,5} = 3.3.3.3.3 o 35.
Esta notació s'aplica tant a figures poligonales com a poliedres. Una configuració de vèrtiços plana denota un mosaic uniforme, de la mateixa manera que una configuració de vèrtiços no plana denota un poliedre uniforme.
La notació és ambigua per als símbols de formes quirales. Per eixemple, el gaveta romo té formes en sentit horari i antihorario les imàgens del qual especulares són idèntiques. Abdós tenen una configuració de vèrtiços 3.3.3.3.4.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Zvi Har'El. «Uniform Solution for Uniform Polyhedra».
- ↑ 2,0 2,1 The Uniform Polyhedra Roman E. Maeder (1995)
- ↑ teu596twC&lpg=PR4&ots=Eg73ne3jBW&dq=Steurer%20and%20Deloudi%202009%20Crystallography%20of%20quasicrystals%3A%20Concepts%2C%20methods%20and%20structures&pg=PA18#v=onepage&q=Archimedean%20tilings&f=false Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures by Walter Steurer, Sofia Deloudi, (2009) pp. 18–20 and 51–53
- ↑ Physical Metallurgy: 3-Volume Set, Volume 1 edited by David E. Laughlin, (2014) pp. 16–20
- ↑ Archimedean Polyhedra [1] archivat en Wayback Machine. Steven Dutch
- ↑ Uniform Polyhedra Jim McNeill
- ↑ Uniform Polyhedra and their Duals Robert Webb
- ↑ Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids, Jurij Kovič, (2011)
- ↑ 3. General Theorems: Regular and Semi-Regular Tilings Kevin Mitchell, 1995
- ↑ Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History, modules, and articles, edited by Brian Hopkins
- ↑ Vertex Symbol [2] archivat en Wayback Machine. Robert Whittaker
- ↑ Structure and Form in Design: Critical Idees for Creative Practice By Michael Hann
- ↑ Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids Jurij Kovič
- ↑ “Uniform Partitions of 3-space, their Relatives and Embedding” .
- ↑ Plantilla:Mathworld
- ↑ Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere 6.4.1 Cundy-Rollett symbol, p. 164
- ↑ Physical Metallurgy: 3-Volume Set, Volume 1 edited by David E. Laughlin, (2014) p. 16
- ↑ CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition By Eric W. Weisstein
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Configuración de vértices» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.