Convergència puntual

En matemàtiques, la convergència puntual és un dels distints sentits en els que una successió de funcions pot convergir a una funció particular. És més dèbil que la convergència uniforme, en la que se sol comparar.

Definició

Supongam que $(f_n)$ és una successió de funcions que compartixen el mateix domini i codominio. El codominio solen ser els reals, pero en general pot ser qualsevol espai mètric. La successió $(f_n)$ convergix puntualment a la funció $f$, lo que se sol escriure com

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=f\text{puntualmente},$

si i solament si

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x).$

per a tot $x$ en el domini. Es diu que la funció $f$ és el llímit puntual de les $f_n$.

Propietats

El concepte sol comparar-se en la convergència uniforme. Dir que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=f\text{uniformemente}$

vol dir que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sup \{|f_n(x)-f(x)|:x\in A\}=0,$

a on $A$ és el domini comú de $f$ i les $f_n$. Esta és una afirmació més forta que la de la convergència puntual. Tota successió uniformemente convergent és puntualment convergent a la mateixa funció llímit, pero existixen successions puntualment convergents que no són uniformemente convergents. Per eixemple, si $f_n:[0,1)\to [0,1)$ és una successió de funcions definida per $f_n(x)=x^n$, llavors $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=0$ puntualment en l'interval $[0,1)$, pero no uniformement.

El llímit puntual d'una successió de funcions contínues pot ser una funció discontínua, pero solament si la convergència no és uniforme. Per eixemple,

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\cos (\pi x{)}^{2n}$

pren el valor 1 quan $x$ és sancer i 0 quan $x$ no és un sancer, i per tant és discontínua en tots els sancers.

Els valors de les funcions $f_n$ no tenen per qué ser número real, sino que poden estar en qualsevol espai topològic, de manera que el concepte de convergència puntual tinga sentit. La convergència uniforme, per una atra part, no té sentit per a funcions en valors en espais topològics en general, sino que necessita prendre valors en un espai mètric o, de forma més general, en un espai uniforme.