Espai uniforme

En topología i anàlisis funcional, un espai uniforme és un conjunt dotat d'una estructura uniforme que permet estudiar conceptes com continuïtat uniforme, completitud i convergència uniforme.

La diferència essencial entre un espai topològic i un espai uniforme està en que en un espai uniforme, es pot formalisar l'idea de "x₁ està tan llunt de x₂ com i₁ ho està de i ₂" mentres que en un espai topològic es pot formalisar solament que "un punt x està arbitrariamente prop d'un conjunt A" (és dir, en el tancament de A) o, tal volta, que "un entorn A de x és més chicotet que un atre entorn B", pero l'estructura topològica sola no dona idea de la proximitat relativa entre els punts.

Els espais uniformes generalisen els espais mètrics i comprenen les topología dels grups topològics i per lo tant són la base de la major part del anàlisis. Es deuen a Henri Cartan i varen ser introduïts a través de Bourbaki.

Definició

Existixen tres definicions equivalents d'espai uniforme. Cada una d'elles diferix en el tipo d'estructura en que es dota a un conjunt X per a introduir el concepte de proximitat, pero els resultats que s'obtenen són equivalents.

Definició com a colecció de entourages

Si $X$ és un conjunt, una colecció $Φ$ no buida de subconjunts del producte cartesiano $X \times X$ és cridada una estructura uniforme en $X$ si se satisfan els següents axioma:

si $U \in Φ$ , llavors $Δ_{X} \subseteq U$ , sent $Δ_{X} = {(x, x) : x \in X}$ la diagonal en $X \times X$ .
si $U \in Φ$ , llavors $U^{- 1} \in Φ$ , sent $U^{- 1} = {(y, x) : (x, y) \in U}$ .
si $U \in Φ$ i $V$ és un subconjunt de $X \times X$ tal que $U \subseteq V$ , llavors $V \in Φ$ .
si $U, V \in Φ$ , llavors $U \cap V \in Φ$ .
si $U \in Φ$ , llavors existix un $V \in Φ$ tal que, sempre que $(x, y) \in V$ i $(y, z) \in V$ , es verifica $(x, z) \in U$ .

Un conjunt $X$ junt en una estructura uniforme $Φ$ es denomina un espai uniforme. Els elements de $Φ$ es diuen entourages. Si s'omet la segona condició, es diu que l'espai és quasiuniforme.

La condició 5 es pot formalisar en la noció de encadenament o composició. Daus dos conjunts V i O podem compondre'ls en la forma $V$ ° $U = {(x, z) :$ existix $y \in X$ , tal que $(x, y) \in U, (y, z) \in V}$ . Llavors, la condició 5 diu que para tot $U \in Φ$ , existix $V \in Φ$ tal que $V$ ° $V \subseteq U$ .

Donat un punt $x \in X$ pot definir-se el conjunt $U [x] = {y : (x, y) \in U}$ . En un gràfic esquemàtic, pot representar-se un entourage com un àrea que comprenga la diagonal " $y = x$ "; cada conjunt $U [x]$ seria llavors la secció vertical en l'ordenada $y = x$ . Si $(x, y) \in U$ , es diu que $x$ i $y$ són O-pròxims. De la mateixa forma, si tots els parells de punts d'un conjunt $A$ són O-pròxims (és dir, si $A \times A \subseteq U$ ), llavors es diu que $A$ és O-menut.

Intuitivament, dos punts $x$ i $y$ són "propencs" si el parell $(x, y)$ està contingut en molts entourages. Un sol entourage captura un grau particular de "proximitat". Interpretats aixina, els axioma signifiquen lo següent:

cada punt està prop de sí mateixa (és O-pròxim per a qualsevol entourage $U$ ).
si $x$ està prop de $y$ , llavors $y$ està prop de $x$ (simetria).
relaixar un grau de proximitat dona un atre grau de proximitat.
combinant dos graus de proximitat, es conseguix un atre.
per a cada grau de proximitat, existix un atre que captura "dos voltes més prop".

Direm que un entourage $U$ és simètric si sempre que $(x, y) \in U$ es verifica $(y, x) \in U$ .

Un sistema fonamental de entourages d'una estructura uniforme $Φ$ és qualsevol colecció B de entourages de $Φ$ tal que tot entourage de $Φ$ conté un conjunt pertanyent a B. Aplicant la condició 3 es conclou que un sistema fonamental de entourages B és suficient per a especificar sense ambigüitat l'estructura uniforme: $Φ$ és la colecció de subconjunts de $X \times X$ que contenen un conjunt de B. Tot espai uniforme té un sistema fonamental de entourages format per entourages simètrics.

Una estructura uniforme $Φ$ és més fina que una atra estructura uniforme $Ψ$ sobre el mateix conjunt si $Ψ \subseteq Φ$ .

Definició per mig de pseudométricas

Artícul principal → Espai pseudométrico.

Alternativament, els espais uniformes poden definir-se de forma equivalent utilisant famílies de pseudométricas, un enfocament que és a sovint útil en l'anàlisis funcional, a on les pseudodistancias o pseudométricas poden construir-se a partir de seminormas. En este cas, l'idea de "proximitat" està quantificada per les pseudodistancias.

Més concretament, siga $f : X \times X ⟶ ℝ_{\geq 0}$ una pseudodistancia en un conjunt $X$ . Es pot demostrar que les imàgens inverses $U_{a} = f^{- 1} ([0, a])$ per a $a > 0$ formen un sistema fonamental de entourages. Direm que l'estructura uniforme generada per dit sistema està definida o determinada per $f$ .

Donada una família ${f_{i}}$ de pseudodistancias en $X$ , l'estructura uniforme definida per la família és el suprem de les estructures uniformes definides per les pseudodistancias individuals $f_{i}$ . Les interseccions finitas de entourages de les estructures definides per dites pseudodistancias proporcionen un sistema fonamental de entourages per a l'estructura uniforme definida per la família de pseudométricas. Si la família és finita, pot obtindre's la mateixa estructura uniforme a partir de una única pseudodistancia: la envolvente superior $s u p {f_{i}}$ de totes les pseudodistancias.

També pot demostrar-se que una estructura uniforme que admet un sistema fonamental de entourages numerable (i, en particular, una estructura definida per una família numerable de pseudométricas) pot definir-se per una única pseudométrica. A partir d'ací, s'aplega a deduir que qualsevol estructura uniforme pot definir-se a partir d'una família (no necessàriament numerable) de pseudométricas.

Els espais topològics que es definixen a partir de pseudométricas són denominats per alguns autors com a espais de calibración o gauge.

Definició per recobriment uniformes

En el conjunt de recobriment d'un conjunt X, es definix una relació $\leq^{⋆}$ de manera que donats dos recobriment $𝔓$ i $𝔔$ , diem que $𝔓 \leq^{⋆} 𝔔$ si para tot $A \in 𝔓$ existix un $U \in 𝔔$ tal para tot $B \in 𝔓$ que es interseque en $A$ es verifica $B \subseteq U$ .

A partir d'ahí, pot definir-se un espai uniforme com un conjunt $X$ dotat en una colecció particular de recobriment de $X$ , formant un filtre baixe l'orde $\leq^{⋆}$ .

Açò equival a afirmar:

${X}$ és un recobriment uniforme.
Si $𝔓 \leq^{⋆} 𝔔$ i $𝔓$ és un recobriment uniforme, llavors $𝔔$ també és un recobriment uniforme.
Si $𝔓$ i $𝔔$ són recobriment uniformes, llavors existix un recobriment uniforme $ℜ$ tal que $ℜ \leq^{⋆} 𝔓$ i $ℜ \leq^{⋆} 𝔔$ .

Donat un punt $x$ i un recobriment uniforme $𝔓$ , es pot considerar l'unió d'elements de $𝔓$ als que pertany $x$ com un entorn de $x$ de "tamany" $𝔓$ , i esta mida intuïtiva s'aplica uniformemente en tot l'espai.

Donada una colecció de entourages, podem dir que un recobriment $𝔓$ és uniforme si existix un entourage $U$ tal que para tot $x \in X$ , existix $A \in 𝔓$ complint $U [x] \subseteq A$ . Reciprocament, donada una colecció de recobriment uniformes, els conjunts $\cup {A \times A : A \in 𝔓}$ , definits per a cada recobriment uniforme $𝔓$ , formen un sistema fonamental de entourages d'una estructura uniforme. Estes dos transformacions són inverses entre sí.

Topología d'espais uniformes

Topología determinada per l'estructura uniforme

Tot espai uniforme $X$ es convertix en un espai topològic definint un subconjunt $A$ de $X$ com a obert si i solament si per a cada $x$ en $A$ existix un entourage $V$ tal que $V [x]$ és un subconjunt de $A$ . La topología aixina definida es diu que està definida o determinada per l'estructura uniforme. En esta topología, la colecció d'entorns d'un punt $x$ és ${V [x] : V \in Φ}$ . L'existència d'una estructura uniforme fa possible la comparació de tamany d'entorns de punts diferents, en considerar que, per a un entourage $V$ fixat, els entorns $V [x]$ i $V [y]$ tenen el mateix tamany.

Es diu que una estructura uniforme en un espai topològic és compatible en la topología si la topología determinada per l'estructura uniforme coincidix en la topología de partida. En general, és possible que dos estructures uniformes diferents generen la mateixa topología en $X$ .

Espais uniformisables

Es diu que un espai topològic és uniformisable si existix una estructura uniforme compatible en la topología.

Tot espai uniformisable és completament regular i, reciprocament, tot espai completament regular es pot convertir en un espai uniforme (a sovint de moltes maneres) de modo que la topología induïda coincidixca en la donada.

Donat un espai topològic completament regular $X$ , es pot construir una estructura uniforme compatible seleccionant l'estructura uniforme menys fina per a la que totes les funcions contínues en $X$ en valors reals són uniformemente contínues. Un sistema fonamental de entourages per a esta estructura estarà format per totes les interseccions finitas de conjunts $(f \times f)^{- 1} (V)$ , a on $f$ és una funció contínua en $X$ en valors reals i $V$ és un entourage de l'espai uniforme dels número real $ℝ$ .

Un espai uniforme $X$ és un espai de Kolmogórov si i solament si l'intersecció de tots els elements de la seua estructura uniforme és igual a la diagonal $Δ_{X} = {(x, x) : x \in X}$ . Si este és el cas, $X$ és de fet un espai de Tychonoff i, en particular, és d'Hausdorff. La topología d'un espai uniformisable és sempre simètrica, és dir, dos punts qualsevol distinguibles topológicamente estan separats per entorns.

Continuïtat uniforme

Artícul principal → Continuïtat uniforme.

Una funció o aplicació uniformemente contínua entre dos espais uniformes és aquella en la que les imàgens inverses dels entourages són entourage en l'espai orige. De forma equivalent, es pot dir, que una aplicació és uniformemente contínua si les imàgens inverses dels recobriment uniformes són recobriment uniformes de l'espai orige. Totes les aplicacions uniformemente contínues són contínues en la topología determinada per l'estructura uniforme.

Els espais uniformes, junt en les aplicacions uniformes, formen una categoria. Un isomorfisme en esta categoria es denomina isomorfisme uniforme. De la mateixa forma en que els homeomorfismes entre espais topològics preserven les propietats topològiques, una propietat que és preservada per les funcions uniformemente contínues entre espais uniformes es denomina propietat uniforme .

Completitud

La noció d'espai mètric complet pot generalisar-se de manera que es puga aplicar també en espais uniformes. Per a això, s'utilisen filtres de Cauchy en les definicions bàsiques, en lloc de successions de Cauchy, .

Un filtre de Cauchy en un espai uniforme $X$ és un filtre $F$ tal que, per a tot entourage $U$ , existix $A \in F$ complint $A \times A \subseteq U$ . En atres paraules, un filtre és de Cauchy si conté conjunts "arbitrariamente menuts". Es deduïx de les definicions que tot filtre convergent (respecte a la topología determinada per l'estructura uniforme) és un filtre de Cauchy.

Es diu que un espai uniforme és complet si tot filtre de Cauchy és convergent.

Els espais complets satisfan la següent propietat: Siga $A$ un subconjunt dens en un espai uniforme $X$ i siga $Y$ un espai uniforme . Tota aplicació uniformemente contínua $g : A \to Y$ pot estendre's de forma única a una aplicació uniformemente contínua $f : X \to Y$ . Un espai topològic que pot dotar-se en una estructura d'espai uniforme complet compatible en la topología es denomina espai completament uniformisable.

Completitud de Hausdorff d'un espai uniforme

De la mateixa manera que succeïx en els espais mètrics, tot espai uniforme $X$ posseïx completitud de Hausdorff. És dir, existix un espai uniforme complet de Hausdorff $Y$ i una aplicació uniformemente contínua $i : X \to Y$ en la següent propietat universal:

per a tota aplicació uniformemente contínua

f

de

X

en un espai uniforme complet de Hausdorff

Z

, existix una aplicació uniformemente contínua única

g : Y \to Z

tal que

f = g i

.

La completitud de Hausdorff $Y$ és única llevat isomorfismes. Pot prendre's com a conjunt $Y$ la colecció de filtres de Cauchy minimales (segons la relació d'inclusió) en $X$ i com a aplicació $i$ l'aplicació que fa correspondre a cada punt $x$ la colecció d'entorns de $x$ (la qual es pot demostrar que és un filtre minimal).

L'estructura uniforme en $Y$ es construïx partint de l'estructura uniforme en $X$ . Per a cada entourage simètric $V$ en $X$ , siga $C (V)$ el conjunt de tots els parells $(F, G)$ de filtres de Cauchy minimales que tenen en comú a lo manco un element de $V$ . Llavors, els conjunts $C (V)$ constituïxen un sistema fonamental de entourages per a l'estructura uniforme requerida en $Y$ .

L'aplicació $i$ no és necessàriament inyectiva. De fet, la gràfica de la relació d'equivalència $R$ , definida com $x R y$ si i solament si $i (x) = i (y)$ és l'intersecció de tots els entourages de $X$ . Per lo tant, $i$ és inyectiva si i solament si $X$ és de Hausdorff.

El conjunt $i (X)$ és un subconjunt dens de $Y$ . Si $X$ és de Hausdorff, llavors $i$ és un isomorfisme entre $X$ i $i (X)$ , per lo que $X$ pot identificar-se en un subconjunt dens del seu completitud. Ademés, $i (X)$ sempre és de Hausdorff i se li denomina espai uniforme de Hausdorff associat en $X$ . l'espai cocient $X / R$ és homeomorfo a $i (X)$ .

Eixemples

Tot espai mètric $(M, d)$ pot ser considerat com a espai uniforme definint un subconjunt $V$ de $M \times M$ com un entourage si i solament si existix un $ϵ > 0$ tal que para tot $x, y \in M$ en $d (x, y) < ϵ$ tenim $(x, y) \in V$ . Els conjunts

U_{a} = {(x, y) \in X \times X : d (x, y) \leq a} para a > 0

formen un sistema fonamental de entourages. Esta estructura uniforme genera la mateixa topología en

M

que la mètrica de partida i proporciona definicions equivalents de continuïtat uniforme i completitud. No obstant, diferents espais mètrics poden tindre la mateixa estructura uniforme (un eixemple trivial s'obté multiplicant la distància per una constant).

A la seua volta, diferents estructures uniformes poden generar la mateixa topología. Considerem, per eixemple, les mètriques en $ℝ$ definides per $d_{1} (x, y) = | x - y |$ i $d_{2} (x, y) = | e^{x} - e^{y} |$ . Abdós mètriques generen la topología usual en $ℝ$ ; no obstant, les estructures uniformes són diferents, ya que ${(x, y) : | x - y | < 1}$ és un entourage en l'estructura uniforme per a $d_{1}$ pero no per a $d_{2}$ . Es pot considerar que el pas d'una mètrica a l'atra és una transformació contínua, pero no uniformemente contínua.

Tot grup topològic $(G, *)$ (i, per tant, tot espai vectorial topològic) es convertix en un espai uniforme si definim un subconjunt $V$ de $G \times G$ com un entourage si i solament si el conjunt ${x * y^{- 1} : (x, y) \in V}$ és una veïnat del element identitat de $G$ . Esta estructura uniforme en $G$ es diu la uniformitat dreta de $G$ , perque per a cada $a \in G$ , la multiplicació dreta x |-> x*a és uniformemente contínua sobre esta estructura uniforme. Es pot definir també una uniformitat esquerra en $G$ ; les dos no necessiten coincidir, pero abdós generen la topología donada.

Donat un grup topològic $G$ i el seu subgrup $H$ , el conjunt de classes laterals esquerres $G / H$ és un espai uniforme respecte a l'uniformitat $Φ$ determinada per un sistema fonamental d'entorns format pels conjunts $\tilde{U} = {(s, t) \in G / H \times G / H : t \in U \cdot s}$ , sent $U$ un entorn de l'identitat en $G$ . Esta estructura uniforme determina en $G / H$ la topología cocient definida per la proyecció canònica $π : G \to G / H$ .

Donat un espai compacte de Hausdorff $X$ , existix una única estructura uniforme compatible en la topología. Els entourages d'esta estructura són els entorns de la diagonal en $X \times X$ segons la topología producte. L'espai uniforme aixina definit és complet.

Història

Ans que André Weil donara la primera definició explícita d'una estructura uniforme en 1937, conceptes associats a l'uniformitat, com la completitud, es tractaven utilisant espais mètrics. Nicolas Bourbaki va proporcionar la definició d'estructura uniforme en térmens de entourages en el llibre Topologie Générale i John Tukey va presentar la definició per recobriment uniformes. Weil també va caracterisar els espais uniformes en térmens d'una família de pseudométricas.

Vore també

Referències

Bourbaki, Nicolas (1971). «II», Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés), Hermann. ISBN 978-3-540-33936-6.
Bourbaki, Nicolas (1974). «IX», Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés), Hermann. ISBN 978-3-540-34399-8.
Engelking, Ryszard (1989). General Topology (en anglés), Berlín: Heldermann Verlag.
Isbell, John R. (1964). Uniform Spaces (en anglés). ISBN 0-8218-1512-1.

James. Introduction to Uniform Spaces (en anglés). ISBN 0-521-38620-9.
James. Topological and Uniform Spaces (en anglés). ISBN 0-387-96466-5.
Tukey, John. Convergence and Uniformity in Topology (en anglés). ISBN 0-691-09568-X.
Weil, André. Sur els espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551. (en francés), Pariu.

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio uniforme» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.