Criteri de Carathéodory

El criteri de Carathéodory és un resultat de la teoria de la mida que va ser formulat pel matemàtic grec Constantin Carathéodory que caracterisa quàn un conjunt és mesurable segons Lebesgue.

Declaració

Criteri de Carathéodory: Siga ${\lambda }^{*}:𝒫({ℝ}^n)\to [0,\mathrm{\infty }]$ denota la mida exterior de Lebesgue en ${ℝ}^n,$ on $𝒫({ℝ}^n)$ denota el conjunt de potències de ${ℝ}^n,$ i deixa $M\subseteq {ℝ}^n.$ Llavors $M$ és Lebesgue mensurable si i només si${\lambda }^{*}(S)={\lambda }^{*}(S\cap M)+{\lambda }^{*}(S\cap M^c)$ per a cada $S\subseteq {ℝ}^n,$ on $M^c$ denota el complement de $M.$ Donar-se conte de $S$ No és necessari que siga un conjunt mesurable.

Generalisació

El criteri de Carathéodory és de considerable importància perque, en contrast en la formulació original de mensurabilidad de Lebesgue, que es basa en certes propietats topològiques de $ℝ,$ este criteri es generalisa fàcilment a una caracterisació de la mensurabilidad en espais abstractes. De fet, en la generalisació a mides abstractes, esta teorema a voltes s'estén a una definició de mensurabilidad. Aixina, tenim la següent definició:

Si ${\mu }^{*}:𝒫(\Omega )\to [0,\mathrm{\infty }]$ és una mida exterior en un conjunt $\Omega ,$ on $𝒫(\Omega )$ denota el conjunt de potències de $\Omega ,$ llavors un subconjunt $M\subseteq \Omega$ es diu ' o ' si per cada $S\subseteq \Omega ,$ l'igualtat$${\mu }^{*}(S)={\mu }^{*}(S\cap M)+{\mu }^{*}(S\cap M^c)$$se sosté a on $M^c:=\Omega \setminus M$ és el complement de $M.$

la família de tots ${\mu }^{*}$ –els subconjunts mesurables són un σ-àlgebra (aixina, per eixemple, el complement d'un ${\mu }^{*}$ –el conjunt mesurable és ${\mu }^{*}$ –mensurables, i lo mateixa ocorre en les interseccions i unions contables de ${\mu }^{*}$ –conjunts mensurables) i la restricció de la mida exterior ${\mu }^{*}$ per a esta família és una mida.