Distància geogràfica

Archiu:Azimutalprojektion-schief kl-cropped.png

Proyecció assimutal de la Terra

La distància geogràfica o distància geodèsica és la llongitut entre dos punts donats mida sobre la superfície de la Terra, o també la llongitut d'arc més curta entre abdós.

Les fòrmules d'este artícul calculen distàncies entre punts que estan definits per coordenades geogràfiques en térmens de latitut i llongitut. Esta distància és un element que forma part de la resolució del segon problema geodèsic (invers).

Introducció

El càlcul de la distància entre coordenades geogràfiques es basa en cert nivell d'abstracció. No proporciona una distància exacta, mida pràcticament impossible de calcular si calguera tindre en conte les irregularitats de la superfície de la Terra. Les abstracció comunes per a modelizar la superfície respecte a la que es calcula la distància entre dos punts geogràfics són:

Superfície plana Superfície esfèrica Superfície elipsoidal

Totes les abstracció anteriors ignoren les diferències d'elevació. El càlcul de distàncies que tenen en conte les diferències d'elevació en relació en la superfície idealizada no s'analisa en este artícul.

Classificació de fòrmules basades en aproximacions

• Aproximacions basades en la distància en túnel: superfície plana, latitut mija de Gauss; ___MATH_0___
• Aproximació d'orde 0: superfície esfèrica; ___MATH_1___
• Aproximacions d'orde superior basades en un elipsoide: ___MATH_2___: Andoyer (1932); Andoyer-Lambert (1942), ___MATH_3___: Andoyer-Lambert-Thomas (1970), ___MATH_4___: Vincenty (1975), ___MATH_5___: Kaney (2011); ___MATH_6___ en l'hemisferi

Les estimacions teòriques de l'error es definixen en el paràgraf anterior, i ___MATH_7___ és l'achatamiento de la Terra.

Nomenclatura

La distància a lo llarc d'un arc, ___MATH_8___ és la distància mínima en la superfície de l'esfera/elipsoide calculada entre dos punts, ___MATH_9___ i ___MATH_10___. Considerant que la distància del túnel (la llongitut de la corda que unix els dos punts), ___MATH_11___, es medix en una llínea recta cartesiana. Les coordenades geogràfiques dels dos punts, com a parells (latitut, llongitut), són ___MATH_12___ i ___MATH_13___ respectivament. Quin dels dos punts es designa com ___MATH_14___ no és important per al càlcul de la distància.

Les coordenades de latitut ___MATH_15___ i llongitut ___MATH_16___ en els mapes s'expressen generalment en graus sexagesimals. En les formes donades de les fòrmules que figuren a continuació, un o més valors deuen expressar-se en les unitats especificades per a obtindre el resultat correcte. Quan s'utilisen coordenades geogràfiques com a argument d'una funció trigonométrica, els valors poden expressar-se en qualsevol unitat angular compatible en el método utilisat per a determinar el valor de la funció trigonométrica. Moltes calculadores electròniques permeten càlculs de funcions trigonométricas en graus o en radianes. Llògicament, el modo de la calculadora deu ser compatible en les unitats utilisades per a les coordenades geomètriques.

Les diferències de latitut i llongitut s'etiqueten i calculen de la següent manera:

___MATH_17___

No importa si el resultat és positiu o negatiu quan s'utilisa en les fòrmules següents.

La "latitut mija" s'etiqueta i es calcula de la següent manera:

___MATH_18___

A menos que s'especifique lo contrari, el ràdio terrestre per als càlculs següents és:

___MATH_19___ = 6.371,009 quilómetros = 3.958,761 milles terrestres = 3.440,069 milles nàutiques.

___MATH_20___ = Distància entre els dos punts, mida en la superfície de la Terra i en les mateixes unitats que el valor utilisat per al radi (a menos que s'indique explícitament alguna cosa distint).

Singularitats i discontinuidades de latitut/llongitut

L'aproximació de funcions sinusoidals de ___MATH_21___, que apareix en algunes fòrmules per a una superfície plana que figuren a continuació, pot vore's afectada per singularitats i discontinuidades. També pot degradar la precisió en el cas d'una latitut molt elevada.

La llongitut presenta singularitats en els pols (la llongitut no està definida) i una discontinuidad en el meridiano ±180°. Ademés, les proyeccions planes de les circumferències de latitut constant són molt curves prop dels pols. Per lo tant, les equacions anteriors per a la latitut/llongitut de delta (___MATH_22___, ___MATH_23___) i la latitut mija (___MATH_24___) poden no donar la resposta esperada per a posicions prop dels pols o del meridiano ±180°. Considere's, per eixemple, el valor de ___MATH_25___ (desplaçament este) quan ___MATH_26___ i ___MATH_27___ estan a abdós costats del meridiano ±180°, o el valor de ___MATH_28___ (latitut mija) per a les dos posicions (___MATH_29___=89°, ___MATH_30___=45°) i (___MATH_31___=89°, ___MATH_32___=-135°).

Si un càlcul basat en latitut/llongitut deu ser vàlit per a totes les posicions de la Terra, es deu verificar que la discontinuidad i els pols es manegen correctament. Una atra solució és utilisar el vector n en lloc de latitut/llongitut, ya que esta representació no presenta discontinuidades ni singularitats.

Fòrmules d'aproximació de superfícies planes per a distàncies molt curtes

Una aproximació plana per a la superfície de la Terra pot ser útil en distàncies molt menudes. S'aproxima la llongitut de l'arc, ___MATH_33___, a la distància en túnel, ___MATH_34___, o s'omet la conversió entre les llongituts d'arc i de corda que es mostren a continuació. La distància més curta entre dos punts en el pla és una llínea recta cartesiana. El teorema de Pitágoras s'utilisa per a calcular la distància entre punts en un pla.

Inclús en distàncies curtes, la precisió dels càlculs de distància geogràfica que suponen una Terra plana depén del método de proyecció cartogràfica utilisat per a obtindre les coordenades de latitut i llongitut sobre el pla, en l'àmbit de la cartografia.

Les fòrmules presentades en esta secció proporcionen distints graus de precisió.

Fòrmula aproximada considerant la Terra esfèrica

Esta fòrmula té en conte la variació de la distància entre els meridianos en la latitut:

___MATH_35___

Cas de latitut mija o baixa

Lo anterior se simplifica encara més per mig de l'aproximació de funcions sinusoidals de ___MATH_36___, justificades llevat para latitut altes:

___MATH_37___.

Esta aproximació és molt ràpida i produïx un resultat prou precís per a distàncies menudes. Ademés, en ordenar ubicacions per distància, com en una consulta de base de senyes, és més ràpit ordenar per distància al quadrat, lo que elimina la necessitat de calcular la raïl quadrada.

Fòrmula aproximada considerant la Terra elipsoidal

La fòrmula anterior s'estén per a la Terra elipsoidal de la forma següent:

___MATH_38___,

a on ___MATH_39___ i ___MATH_40___ són els ràdios de curvatura de la Terra meridional i la seua perpendicular, o normal (vejau conversió de coordenades geogràfiques per a les seues fòrmules).

Es deduïx de l'aproximació de ___MATH_41___ en l'anterior raïl quadrada.

Cas de latitut mija o baixa

Lo anterior se simplifica ademés per mig de l'aproximació de funcions sinusoidals de ___MATH_42___, justificades llevat para latitut altes:

___MATH_43___

Fòrmula de la FCC

La Comissió Federal de Comunicacions (FCC) prescriu les següents fòrmules per a distàncies que no excedixquen :

___MATH_44___

a on

___MATH_45___ = Distància en quilómetros;

___MATH_46___ i ___MATH_47___ estan en graus;

___MATH_48___ deu estar en unitats compatibles en el método utilisat per a determinar ___MATH_49___

___MATH_50___

Ací, ___MATH_51___ i ___MATH_52___ estan en unitats de quilómetros per grau d'arc. Es deduïxen del ràdio de curvatura de la Terra de la següent manera:

___MATH_53___ = quilómetros per grau d'arc de diferència de latitut;

___MATH_54___ = quilómetros per grau d'arc de diferència de llongitut;

Deu tindre's en conte que les expressions en la fòrmula de la FCC es deriven de la truncació de la forma d'expansió de la série binomial de ___MATH_55___ i ___MATH_56___, establida en para l'elipsoide de referència Clarke 1866. Per a una aplicació computacionalment més eficient de la fòrmula anterior, es poden reemplaçar múltiples aplicacions de coseno en una sola aplicació i l'us de la relació de recurrencia per mig de polinomis de Chebyshov.

Fòrmula per a una proyecció plana de la Terra en coordenades polars

___MATH_57___

a on els valors de colatitud estan en radianes: ___MATH_58___

Per a una latitut medida en graus, la colatitud en radianes es pot calcular de la següent manera: ___MATH_59___