Vector n
Un vector n (també cridat normal geodèsica o vector normal de l'elipsoide) és una representació no singular de tres paràmetros molt adequada per a reemplaçar a les coordenades geodèsiques (latitut i llongitut) per una posició horisontal en càlculs matemàtics i algoritmes informàtics.
Geomètricament, el vector n per a una posició donada en un elipsoide és el vector unitari que apunta cap a fòra que és normal en eixa posició sobre l'elipsoide. Per a representar posicions horisontals en la Terra, l'elipsoide s'associa en un elipsoide de referència i el vector és descompost segons els seus components en un sistema de coordenades geocéntrico (fix i centrat en la Terra). Es comporta de manera uniforme en totes les posicions de la Terra i manté la propietat matemàtica de fer correspondre punts un a un.
En térmens més generals, el concepte es pot aplicar per a representar posicions en el llímit d'un espai euclídeo k-dimensional convexo i estrictament acotat, sempre que eixe llímit siga una varietat diferenciable. En este cas general, el vector n consta de k paràmetros.
Propietats generals
[editar | editar còdic]Es pot utilisar una superfície normal estrictament convexa per a definir de forma única la posició d'una superfície. Ací, n és un vector normal unitari que apunta cap a fòra i s'utilisa com a representació de la posició. [1]
Per a la majoria de les aplicacions, la superfície és un elipsoide de referència de la Terra i, per lo tant, s'utilisa el vector n per a representar una posició horisontal. En conseqüència, l'àngul entre el vector n i el pla equatorial correspon a les coordenades geodèsiques, com es mostra en la figura de dalt.
La posició d'una superfície té dos graus de llibertat i, per lo tant, dos paràmetros són suficients per a representar qualsevol posició en la superfície. En l'elipsoide de referència, la latitut i la llongitut són paràmetros comuns per a este propòsit, pero com totes les representacions de dos paràmetros, té singularitats. Açò és similar al cas de la orientació, que té tres graus de llibertat, pero totes les representacions de tres paràmetros tenen singularitats.[2] En abdós casos, les singularitats s'eviten afegint un paràmetro extra, és dir, utilisant un vector n (tres paràmetros) para representar la posició horisontal i una unitat cuaterniónica (quatre paràmetros) para representar l'orientació.
El vector n és una representació un a un, lo que significa que qualsevol posició de la superfície correspon a un únic vector n, i qualsevol vector n correspon a una única posició de la superfície.
En tractar-se d'un vector euclídeo 3D, es pot utilisar el àlgebra vectorial 3D estàndart per als càlculs de posició, i açò fa que el vector n siga adequat per a la majoria dels càlculs de posició horisontal.
Conversió de latitut/llongitut al vector n
[editar | editar còdic]Basant-se en la definició del sistema de coordenades geocéntricas, cridat i, està clar que passar de latitut/llongitut a vector n es conseguix per mig de:
El superíndex i significa que el vector n és decompuesto en el sistema de coordenades i (és dir, la primera component és la proyecció escalar del vector n sobre l'eix x de i, la segona sobre l'eix i de i, etc.). Note's que l'equació és exacta tant per al model de la Terra esfèric com per al elipsoidal.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ “A senar-singular horisontal position representation” (2010). The Journal of Navigation 63 (3): 395–417. Cambridge University Press. doi:. Bibcode: 2010JNav...63..395G.
- ↑ “On the Parametrization of the Three-Dimensional Rotation Group” (1964). SIAM Review 6 (4): 422–430. Society for Industrial and Applied Mathematics. doi:. Bibcode: 1964SIAMR...6..422S.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Vector n» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.