Distribució beta

En teoria de la provabilitat i en estadística, la distribució beta és una família de distribucions contínues de provabilitat definides en l'interval $(0, 1)$ parametrizada per dos paràmetros positius de forma, denotats per $α$ i $β$ , que apareixen com a exponents de la variable aleatòria i controlen la forma de la distribució.

La generalisació d'esta distribució a vàries variables és coneguda com la distribució de Dirichlet.

Definició

Si una variable aleatòria contínua $X$ té una distribució beta en paràmetros $α, β > 0$ llavors escriurem $X \sim B (α, β)$ .

Atres notacions per a la distribució beta usades són $X \sim Beta (α, β)$ , $X \sim ℬ ℯ (α, β)$ o $X \sim β_{α, β}$ .

f_{X} (x) = \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)}

per a valors $0 < x < 1$ a on $B (α, β)$ és la funció beta i es definix per a $α, β > 0$ com

B (α, β) = \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} d x

i algunes de les propietats que satisfà són:

F_{X} (x) = \frac{B (x; α, β)}{B (α, β)} = I_{x} (α, β)

Si $X \sim B (α, β)$ llavors la variable aleatòria $X$ satisfà algunes propietats.

E [X] = \frac{α}{α + β}

Var (X) = \frac{α β}{(α + β + 1) (α + β)^{2}}

.

\frac{α - 1}{α + β - 2}

per a valors de $α, β > 1$ .

El $n$ -ésimo moment de $X$ és

\begin{matrix} E [X^{n}] & = \frac{B (α + n, β)}{B (α + β)} \\ = \prod_{r = 0}^{n - 1} \frac{α + r}{α + β + r} \\ = \frac{α (α + 1) \dots (α + n - 1)}{(α + β) (α + β + 1) \dots (α + β + n - 1)} \end{matrix}

per a $n \in ℕ$ .

\begin{matrix} M_{X} (t) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} \frac{B (α + n, β)}{B (α, β)} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\prod_{r = 0}^{n - 1} \frac{α + r}{α + β + r}) \frac{t^{n}}{n!} \end{matrix}

El logaritmo de la mija geomètrica $G_{X}$ d'una distribució en variable aleatòria $X$ és la mija aritmètica de $\ln (X)$ o equivalentemente, la seua valor esperat:

\ln G_{X} = E [\ln X]

Per a una distribució beta:

\begin{matrix} E [\ln X] & = \int_{0}^{1} \ln x f_{X} (x) d x \\ = \int_{0}^{1} \ln x \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)} d x \\ = \frac{1}{B (α, β)} \int_{0}^{1} \frac{\partial x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{\partial α} d x \\ = \frac{1}{B (α, β)} \frac{\partial}{\partial α} \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} d x \\ = \frac{1}{B (α, β)} \frac{\partial B (α, β)}{\partial α} \\ = \frac{\partial \ln B (α, β)}{\partial α} \\ = \frac{\partial \ln Γ (α)}{\partial α} - \frac{\partial \ln Γ (α + β)}{\partial α} \\ = ψ (α) - ψ (α + β) \end{matrix}

a on $ψ$ és la funció digamma.

Animació de la funció de densitat de la distribució Beta per a diferents valors dels seus paràmetros

Este artícul conté una traducció derivada de «Distribución beta» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.