Equivalència (teoria de la mida)

En matemàtiques, i específicament en teoria de la mida, l'equivalència és la noció de que dos mides són cualitativamente similars. Específicament, les dos mides coincidixen en quins events tenen mida zero.

Definició

Deixar $\mu$ i $\nu$ ser dos mides en l'espai mensurable $(X,𝒜),$ i deixa$${𝒩}_{\mu }:=\{A\in 𝒜\mid \mu (A)=0\}$$i$${𝒩}_{\nu }:=\{A\in 𝒜\mid \nu (A)=0\}$$ser els conjunts de $\mu$ - conjunts nuls i $\nu$ -conjunts nuls, respectivament. Llavors la mida $\nu$ es diu que és absolutament continu en referència a $\mu$ si i solament si ${𝒩}_{\nu }\supseteq {𝒩}_{\mu }.$ Açò es denota com $\nu \ll \mu .$

Les dos mides es diuen equivalents si i només si $\mu \ll \nu$ i $\nu \ll \mu ,$ que es denota com $\mu \sim \nu .$ És dir, dos mides són equivalents si satisfan ${𝒩}_{\mu }={𝒩}_{\nu }.$

Eixemples

En la recta real

Definixca les dos mides en la recta real com$$\mu (A)=\underset{A}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{[0,1]}(x)\mathrm{d}x$$$$\nu (A)=\underset{A}{\int }{x}^2{\mathrm{𝟏}}_{[0,1]}(x)\mathrm{d}x$$per a tots els conjunts Borel $A.$ Llavors $\mu$ i $\nu$ són equivalents, ya que tots els conjunts fòra de $[0,1]$ tindre $\mu$ i $\nu$ mida zero, i un conjunt dins $[0,1]$ és un $\mu$ -conjunt nul o un $\nu$ -conjunt nul exactament quan és un conjunt nul sobre la mida de Lebesgue.

Espai de mida abstracte

Mira un espai mensurable $(X,𝒜)$ i deixa $\mu$ ser la mida de conteo, llavors$$\mu (A)=|A|,$$on $|A|$ és la cardinalidad del conjunt a. Llavors la mida de conteo té solament un conjunt nul, que és el conjunt buit. Això és, ${𝒩}_{\mu }=\{\varnothing \}.$ Llavors, segons la segona definició, qualsevol atra mida $\nu$ és equivalent a la mida de conteo si i solament si també té solament el conjunt buit com a únic $\nu$ -conjunt nul.