Escalar de Lorentz

En la física de la teoria de la relativitat, un escalar de Lorentz és una expressió, formada a partir d'elements de la teoria, que s'evalua com un terme invariante baix qualsevol transformació de Lorentz. Es pot generar un escalar de Lorentz a partir, per eixemple, del producte escalar de vectores o de la contracció de tensors de la teoria. Si ben els components dels vectores i tensors generalment es modifiquen baix les transformacions de Lorentz, els escalares de Lorentz permaneixen sense canvis.

Un escalar de Lorentz no sempre es veu immediatament com un invariante en el sentit matemàtic, pero el valor escalar resultant és invariante baix qualsevol transformació de base aplicada al espai vectorial, en el que es basa la teoria considerada. Un escalar de Lorentz simple en l'espai-temps de Minkowski és la "distancia espai-temporal" ("llongitut" de la seua diferència) de dos events fixos en l'espai-temps. Mentres que els cuadrivectores de "posició" dels events canvien entre diferents marcs inerciales, la seua distància espai-temporal permaneix invariante baix la corresponent transformació de Lorentz. Atres eixemples d'escalares de Lorentz són la "llongitut" de les velocitats de 4 components (vore més avall), o el tensor de Ricci en un punt en l'espai-temps de la relativitat general, que és una contracció del tensor de curvatura riemanniano relativista.

Escalares simples en la relativitat especial

Llongitut d'un vector de posició

Archiu:Fermi walker 1.png

Llínees del món per a dos partícules a diferents velocitats

En la teoria de la relativitat especial, l'ubicació d'una partícula en l'espai-temps de 4 dimensions ve donada per

$x^{\mu }=(ct,𝐱)$

a on $𝐱=𝐯t$ és la posició en l'espai tridimensional de la partícula, $𝐯$ és la velocitat en l'espai tridimensional i $c$ és la velocitat de la llum.

La "llongitut" del vector és un escalar de Lorentz i ve donada per

$x_{\mu }{x}^{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\mu }{x}^{\nu }=(ct{)}^2-𝐱\cdot 𝐱\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(c\tau {)}^2$

a on $\tau$ és el temps propi medit per un rellonge en el sistema en repòs de la partícula i la mètrica de Minkowski està donada per

${\eta }^{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$

Esta és una mètrica de Minkowski de tipo temporal.

A sovint s'utilisa la signatura alternativa de la mètrica de Minkowski en la que s'invertixen els signes de les unitats.

${\eta }^{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Esta és una mètrica de Minkowski de tipo espacial.

En la mètrica de Minkowski, l'interval espacial $s$ es definix com

$x_{\mu }{x}^{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\mu }{x}^{\nu }=𝐱\cdot 𝐱-(ct{)}^2\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{s}^2.$

En el restant d'este artícul s'usa la mètrica de Minkowski de tipo espacial.

Llongitut d'un vector de velocitat

Archiu:Fermi walker 2.png

Els vectores de velocitat en l'espai-temps per a una partícula a dos velocitats diferents. En la teoria de la relativitat, una acceleració equival a una rotació en l'espai-temps

La velocitat en l'espai-temps es definix com

$v^{\mu }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=(c\frac{dt}{d\tau },\frac{dt}{d\tau }\frac{d𝐱}{dt})=(\gamma c,\gamma 𝐯)=\gamma (c,𝐯)$

a on

$\gamma \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{𝐯\cdot 𝐯}{c^2}}}.$

La magnitut de la velocitat de 4 components és un escalar de Lorentz,

$v_{\mu }{v}^{\mu }=-c^2.$

Per lo tant, c és un escalar de Lorentz.

Producte intern de l'acceleració i la velocitat

L'acceleració cuatridimensional està donada per

$a^{\mu }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{d{v}^{\mu }}{d\tau }$

i és sempre perpendicular a la velocitat en 4 dimensions

$0=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau }\left(v_{\mu }{v}^{\mu }\right)=\frac{d{v}_{\mu }}{d\tau }{v}^{\mu }=a_{\mu }{v}^{\mu }.$

Per lo tant, es pot considerar l'acceleració en l'espai-temps simplement com una rotació de la 4-velocitat. El producte intern de l'acceleració i la velocitat és un escalar de Lorentz, i és zero. Esta rotació és simplement una expressió de la conservació de l'energia:

$\frac{dE}{d\tau }=𝐅\cdot 𝐯$

a on $E$ és l'energia d'una partícula i $𝐅$ és la força tridimensional sobre la partícula.

Energia, massa en repòs, 3-moment i 3-velocitat a partir del 4-moment

El 4-moment d'una partícula és

$p^{\mu }=m{v}^{\mu }=(\gamma mc,\gamma m𝐯)=(\gamma mc,𝐩)=(\frac{E}{c},𝐩)$

a on $m$ és la massa en repòs de la partícula, $𝐩$ és el moment en l'espai tridimensional i :$E=\gamma m{c}^2$ és l'energia de la partícula.

Energia d'una partícula

Considere's una segona partícula en 4-velocitat $u$ i 3-velocitat ${𝐮}_2$. En el sistema en repòs de la segona partícula, el producte intern de $u$ per $p$ és proporcional a l'energia de la primera partícula

$p_{\mu }{u}^{\mu }=-E_1$

a on el subíndex 1 indica la primera partícula.

Ya que la relació és verdadera en el sistema en repòs de la segona partícula, també ho és en qualsevol sistema de referència. $E_1$, l'energia de la primera partícula en el marc de referència de la segona partícula, és un escalar de Lorentz. Per lo tant,

$E_1={\gamma }_1{\gamma }_2{m}_1{c}^2-{\gamma }_2{𝐩}_1\cdot {𝐮}_2$

en qualsevol sistema de referència inercial, a on $E_1$ seguix sent l'energia de la primera partícula en el marc de referència de la segona partícula.

Massa en repòs de la partícula

En el sistema de repòs de la partícula, el producte intern del moment és

$p_{\mu }{p}^{\mu }=-(mc{)}^2.$

Per lo tant, la massa en repòs (m) és un escalar de Lorentz. La relació seguix sent verdadera independentment del marc en el que es calcula el producte interior. En molts casos la massa en repòs s'escriu com $m_0$ per a evitar confusió en la massa relativista, que és $\gamma m_0$.

3-moment d'una partícula

Tenint en conte que

${\left(\frac{p_{\mu }{u}^{\mu }}{c}\right)}^2+p_{\mu }{p}^{\mu }=\frac{E_1^2}{c^2}-(mc{)}^2=({\gamma }_1^2-1)(mc{)}^2={\gamma }_1^2{𝐯}_1\cdot {𝐯}_1{m}^2={𝐩}_1\cdot {𝐩}_1.$

El quadrat de la magnitut del 3-moment de la partícula medit en el marc de la segona partícula és un escalar de Lorentz.

Medició de la 3-velocitat de la partícula

La 3-velocitat, en el marc de la segona partícula, es pot construir a partir de dos escalares de Lorentz

$v_1^2={𝐯}_1\cdot {𝐯}_1=\frac{{𝐩}_1\cdot {𝐩}_1}{E_1^2}{c}^4.$