Fibrado de Banach

En matemàtiques, un fibrado de Banach és un fibrado sobre un espai de Hausdorff, tal que cada fibra té l'estructura d'un espai de Banach .

Definició

Siga $X$ un espai de Hausdorff, un fibrado de Banach (continu) sobre $X$ és una tupla $𝔅=(B,\pi )$, on $B$ és un espai topològic de Hausdorff, i $\pi :B\to X$ és una sobreyección contínua i oberta, tal que cada fibra $B_x:={\pi }^{-1}(x)$ és un espai de Banach que complix les següents condicions:

1. El mapage $b\mapsto \Vert b\Vert$ és continu des de $B$ a $ℝ$.
2. L'operació $+:\{(b_1,b_2)\in B\times B:\pi (b_1)=\pi (b_2)\}\to B$ és contínua.
3. Per a cada $\lambda \in ℂ$, el mapage $b\mapsto \lambda \cdot b$ és continu.
4. Si $x\in X$, i $\{b_i\}$ és una ret en $B$, de tal manera que $\Vert b_i\Vert \to 0$ i $\pi (b_i)\to x$, llavors $b_i\to 0_x\in B$, on $0_x$ denota el zero de la fibra $B_x$ .

Si cada fibra $B_x:={\pi }^{-1}(x)$ és una ${}^{*}$-àlgebra de Banach ($C^{*}$-àlgebra) llavors $𝔅$ se li considera un fibrado de *-àlgebra de Banach (fibrado de $C^{*}$-àlgebra respectivament) si afegim la condició:

1. El mapage $b\mapsto b^{*}$ és continu des de $B$ a $B$.

Fibrado Semicontinuo Superior

Si el mapage $b\mapsto \Vert b\Vert$ és sol semicontinuo superiormente, a $𝔅$ se li crida fibrado semicontinuo superior ("USC Banach bundle" en anglés o també varen ser cridats "loose Banach bundles" inicialment per Fell).

Eixemples

Fibrado trivial

Siga $A$ un espai de Banach i $A$ un espai de Hausdorff. Si definim $B:=A\times X$ i la funció $\pi :B\to X$ per $\pi (a,x):=x$ . Llavors $(B,\pi )$ és un fibrado de Banach, cridat fibrado trivial.

Vore també

• Fibrados de Banach en geometria diferencial