Funció cuasiconvexa

Una funció cuasiconvexa que no és convexa

Una funció que no és cuasiconvexa: el conjunt de punts en el domini de la funció per als quals els valors de la funció estan per baix de la llínea roja discontínua és l'unió dels dos intervals rojos, que no és un conjunt convexo.

La funció de densitat de provabilitat de la distribució normal és cuasicóncava pero no cóncava.

La densitat conjunta normal bivariada és cuasicóncava.

En matemàtiques, una funció cuasiconvexa és una funció en valors reals definida en un interval o en un subconjunt convexo d'un espai vectorial real, tal que l'image inversa de qualsevol conjunt de la forma $(-\mathrm{\infty },a)$ és un conjunt convexo. Per a una funció d'una sola variable, a lo llarc de qualsevol tram de la curva, el punt més alt és un dels extrems. El negatiu d'una funció cuasiconvexa es denomina cuasicóncavo.

La cuasiconvexidad és una propietat més general que la convexidad, ya que totes les funcions convexas també són cuasiconvexas, pero no totes les funcions cuasiconvexas són convexas. Les funcions univariadas unimodales són cuasiconvexas o cuasicóncavas; no obstant, este no és necessàriament el cas per a funcions en múltiples arguments. Per eixemple, la funció de Rosenbrock bidimensional és unimodal pero no cuasiconvexa, i les funcions en conjunts de subnivel estrelats poden ser unimodales sense ser cuasiconvexas.

Definició i propietats

Una funció $f:S\to ℝ$ definida en un subconjunt convexo $S$ d'un espai vectorial real és cuasiconvexa si para tot $x,y\in S$ i $\lambda \in [0,1]$ es complix:

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \max \{f(x),f(y)\}.$

En paraules, si $f$ és tal que sempre és cert que un punt directament entre atres dos punts no dona un valor de la funció major que el d'abdós punts, llavors $f$ és cuasiconvexa. Note's que els punts $x$ i $y$, i el punt directament entre ells, poden ser punts en una llínea o, més generalment, punts en un espai n-dimensional.

Una funció cuasilineal és tant cuasiconvexa com cuasicóncava.

La gràfica d'una funció que és tant cóncava com cuasiconvexa en els número real no negatius.

Una forma alternativa (vore introducció) de definir una funció cuasiconvexa $f(x)$ és exigir que cada conjunt de subnivel $S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\le \alpha \}$ siga un conjunt convexo.

Si ademés

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max \{f(x),f(y)\}$

per a tot $x\ne y$ i $\lambda \in (0,1)$, llavors $f$ és estrictament cuasiconvexa. És dir, la cuasiconvexidad estricta requerix que un punt directament entre atres dos punts done un valor de la funció menor que un dels atres punts.

Una funció cuasicóncava és una funció que el seu negatiu és cuasiconvexo, i una funció estrictament cuasicóncava és una funció que el seu negatiu és estrictament cuasiconvexo. Equivalentement, una funció $f$ és cuasicóncava si

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\ge \min \{f(x),f(y)\}.$

i estrictament cuasicóncava si

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min \{f(x),f(y)\}$

Una funció (estrictament) cuasiconvexa té conjunts de nivell inferior (estrictament) convexos, mentres que una funció (estrictament) cuasicóncava té conjunts de nivell superior (estrictament) convexos.

Una funció que és tant cuasiconvexa com cuasicóncava es denomina cuasilineal.

Un cas particular de cuasi-concavidad, si $S\subset ℝ$, és l'unimodalidad, en la que existix un valor localment màxim.

Aplicacions

Les funcions cuasiconvexas tenen aplicacions en anàlisis matemàtic, en optimisació matemàtica i en teoria de jocs i economia.

Optimisació matemàtica

En optimisació no llineal, la programació cuasiconvexa estudia métodos iterativos que convergixen a un mínim (si existix) per a funcions cuasiconvexas. La programació cuasiconvexa és una generalisació de la programació convexa. La programació cuasiconvexa s'utilisa en la solució de problemes duals "substituts", que els seus biduales proporcionen tancaments cuasiconvexos del problema primal, que per lo tant oferixen cotes més ajustades que els tancaments convexos proporcionats per problemes duals lagrangianos. En teoria, els problemes de programació cuasiconvexa i convexa poden resoldre's en un temps raonable, a on el número de iteraciones creix com un polinomi en la dimensió del problema (i en el recíproc de l'error d'aproximació tolerat); no obstant, tals métodos teòricament "eficients" utilisen regles de tamany de pas de "séries divergents", desenrollades originalment per als métodos del subgradiente clàssics. Els métodos clàssics del subgradiente que utilisen regles de séries divergents són molt més llents que els métodos moderns de minimisació convexa, com els métodos de proyecció del subgradiente, els métodos de fes de descens i els métodos de filtre no suaus.

Economia i equacions diferencials parcials: Teoremes minimax

En microeconomía, les funciones d'utilitat cuasicóncavas impliquen que els consumidors tenen preferències convexas. Les funcions cuasiconvexas també són importants en la teoria de jocs, l'organisació industrial i la teoria de l'equilibri general, particularment per a aplicacions del teorema minimax de Sion. Generalisant un teorema minimax de John von Neumann, la teorema de Sion també s'utilisa en la teoria d'equacions diferencials parcials.

Vore també

• Funció convexa
• Funció cóncava
• Funció logarítmicamente cóncava
• Pseudoconvexidad en el sentit de vàries variables complexes (no convexidad generalisada)
• Funció pseudoconvexa
• Funció invexa
• Concavificación