Garbell de Brun

En matemàtiques, el método d'erejat de Brun, la teorema de Brun o garbell de Brun és un resultat en la teoria de números més específicament en teoria de garbells donat per Viggo Brun en 1919. Té importància històrica en l'introducció dels métodos de garbells.

El garbell de Brun nos dona el tamany de certs conjunts que volem estudiar usant certes funcions de les quals nos valem per a estudiar el conjunt.

Garbell de Brun

Com a funció

Siga la funció $f(d)=\frac{\omega (d)}{d\prod _{p\mid d}(1-\frac{\omega (p)}{p})}$

ben definida per a tot d en $\mu (d)=0$ . Considere els següents conjunts

• ${𝔸}^z=\{a\in 𝔸:a\le z\}$
• ${\mathbb{P}}_z=\prod _{p\in {\mathbb{P}}^z}p$
• ${𝔸}_d=\{a\in 𝔸:a\equiv 0modd\}$
• ${ℝ}_d(x)=|{𝔸}_p^x|-\frac{\omega (d)}{p}x$
• $S(𝔸;{\mathbb{P}}^z,x)$ és el número d'elements restants en ${𝔸}^x$ erejant pels elements de ${\mathbb{P}}^z$, açò és, tots els elements restants en llevar els números corresponents al conjunt ${\mathbb{P}}^z$.

Considere la següent funció

• $\omega (d)$ és una funció o comportament de manera tal que $\frac{\omega (d)}{p}x$ siga una bona aproximació a la cardinalidad del conjunt ${𝔸}_p^x$, açò és, que les variables implicades en l'error no siga molt grans o siguen errors admissibles.

• Suponga que $|{ℝ}_d(x)|\le \omega (d)$.

Baix totes estes condicions es pot afirmar que para tot sancer no negatiu r existix $\theta ,{\theta }^{,}$ en $|\theta |\le 1$, $|{\theta }^{,}|\le 1$ tals que,

$S(𝔸;{\mathbb{P}}^z,x)=xW(z)(1+\theta \frac{1}{r!}{(\sum _{p\le z}f(p))}^r\exp \sum _{p\le z}f(p))+{\theta }^{,}{(1+\sum _{p<z}\omega (p))}^r$

Tinga en conte que $\exp \sum _{p\le z}f(p)$ és la $\sum _{p\le z}f(p)$-esima potencia d'i.

Com a versió del principi d'inclusió-exclusió

Una versió més simple del garbell de Brun, és una desigualtat combinatòria la qual és una versió del principi d'inclusió-exclusió. Este nos dona una comportament asintòtic del conjunt en certes propietats dient-nos a qué és menor i a qué és major.

Siga X un conjunt no buit, N un conjunt finito d'objectes, siga P₁,...,P_r r diferents propietats que tenen certs elements del conjunt X. Siga N₀ el número d'elements que no complixen estes propietats. Per a qualsevol subconjunt I={i₁,...,i_k}, del conjunt d'índexs {1,2,...,r}, siga N (I)=N (i₁,...,i_k) denota el número d'elements de X que tenen cada una de les propietats de P_ik,...,P_ik. Siga N(Ø)=|X|=N. Si m és un enteno parell no negatiu, llavors

$N_0\le \sum _{k=0}^m(-1{)}^k\sum _{|I|=k}N(I)$

Si m és un sancer no negatiu impar, llavors

$N_0\ge \sum _{k=0}^m(-1{)}^k\sum _{|I|=k}N(I)$

Resultats

Alguns resultats que s'obtenen en usar o aplicar el garbell de brun són:

• Aproximació de $\pi (x)$. A través d'este método podem estimar que existix una constant c>0, tal que:

$\pi (x)=𝒪(\frac{x\ln \ln (x)}{\ln (x)}\{1+\theta e^{-c\ln \ln (x)}\})+o(x^{1-\epsilon })$

per a tot $\epsilon$ molt menut.

• Comportament asintòtic de ${\pi }_2(x)$. De la mateixa manera que es pot obtindre el comportament asintòtic dels cosins menors que x es pot obtindre els el comportament dels primers bessons menors que x:

${\pi }_2(x)=𝒪\left(x{\left(\frac{\ln \ln (x)}{\ln (x)}\right)}^2\right)$

• Convergència dels primers bessons. Com a pilar d'este garbell, a pesar de que es pot demostrar com a conseqüència de lo anterior, esta la convergència de la suma dels recíprocs dels primers bessons

$\sum _{p,p+2=q}\frac{1}{p}=𝒪(1)$

Al número al com convergix se li coneix com la constant de Brun.

• Sobre la conjectura de Goldbach. Viggo Brun en 1920 va provar, a través del garbell combinatori (Garbell de brun), que tot número par suficientment gran pot escriure's com sumixca de dos sancers cada u producte d'a lo manco nou cosins.

• Números producte de cosins. Brun també va mostrar que existixen infinits sancers n tals que n, n+2 és producte d'a lo manco 9 cosins.

Vore també

• Teoria de garbells
• Constant de Brun
• Conjectura de Goldbach

Referències

• Melvyn B. Nathanson "Additive Number Theory, the Classical Bases" Springer pàgines 167-168-173. 1996