Gran elipse

Archiu:OblateSpheroid.PNG

Esferoide

Una gran elipse és aquella que passa per dos punts donats d'un esferoide i que té el mateix centre que el propi esferoide. De manera equivalent, és una elipse en la superfície d'un esferoide en els seus centres coincidentes, o la curva formada al intersecar l'esferoide per un pla que passa pel seu centre. Per als punts que estan separats per menys d'aproximadament un quarto de la circumferència de la Terra, aproximadament $10000\mathrm{k}\mathrm{m}$, la llongitut de la gran elipse que conecta els punts és propenca (en una diferència de l'orde d'una part en 500.000) a la distancia geodèsica. Per lo tant, és habitual utilisar grans elipses com a rutes per a la navegació marítima i aérea. En geodèsia, una gran elipse és un cas especial d'una curva en secció de la Terra.

Introducció

Suponga's que l'esferoide, un elipsoide de revolució, té un radi equatorial $a$ i un semieje polar $b$. Es definix el achatamiento $f=(a-b)/a$, l'excentricitat $e=\sqrt{f(2-f)}$ i la segona excentricitat $e^{\prime }=e/(1-f)$. Consideren-se dos punts: $A$ en latitut (geogràfica) ${\varphi }_1$ i llongitut ${\lambda }_1$ i $B$ en latitut ${\varphi }_2$ i llongitut ${\lambda }_2$. La gran elipse que conecta (de $A$ a $B$) té llongitut $s_{12}$ i té azimutés ${\alpha }_1$ i ${\alpha }_2$ en els dos punts extrems.

Hi ha vàries formes de convertir un elipsoide en una esfera de radi $a$ de tal manera que es convertixca la gran elipse en un gran círcul, lo que permet utilisar els métodos de navegació ortodrómica:

• L'elipsoide es pot elongar en una direcció paralela a l'eix de rotació. Este método assigna un punt de latitut $\varphi$ en l'elipsoide a un punt en l'esfera en latitut $\beta$, la latitut paramètrica.
• Un punt en l'elipsoide pot assignar-se radialment a l'esfera en la llínea que ho conecta en el centre de l'elipsoide. Este método assigna un punt de latitut $\varphi$ en l'elipsoide a un punt en l'esfera en latitut $\theta$, la latitut geocéntrica.
• L'elipsoide pot estirar-se fins a convertir-se en un elipsoide allargat en semieje polar $a^2/b$ i després assignar-se radialment a l'esfera. Açò conserva la latitut, de manera que la latitut en l'esfera és $\varphi$, la latitut geogràfica.

L'últim método proporciona una manera fàcil de generar una successió de punts de referència en la gran elipse que conecta dos punts coneguts $A$ i $B$. Per a això, es determina el círcul màxim entre $({\varphi }_1,{\lambda }_1)$ i $({\varphi }_2,{\lambda }_2)$ i punts de referència en el gran círcul, que s'assignen a punts de referència en la gran elipse corresponent.

Correspondència entre una gran elipse i un gran círcul

Si es necessiten distàncies i rumbos, lo més senzill és utilisar el primer dels procediments. En detalle, l'aplicació és la següent (esta descripció està presa de):

• La latitut geogràfica $\varphi$ en l'elipsoide es trasllada a la latitut paramètrica $\beta$ en l'esfera, a on

  $a\tan \beta =b\tan \varphi .$

• La llongitut $\lambda$ no canvia.
• L'azimut $\alpha$ en l'elipsoide es trasllada a un azimut $\gamma$ en l'esfera, a on

  $\begin{array}{cc}\tan \alpha & =\frac{\tan \gamma }{\sqrt{1-e^2{\cos }^2\beta }},\\ \tan \gamma & =\frac{\tan \alpha }{\sqrt{1+e{\text{'}}^2{\cos }^2\varphi }},\end{array}$

  i els quadrants de $\alpha$ i $\gamma$ són els mateixos.
• Les posicions en el gran círcul de radi $a$ estan parametrizadas per la llongitut d'arc $\sigma$ mida des del creuament de l'equador cap al nort. La gran elipse té semiejes $a$ i $a\sqrt{1-e^2{\cos }^2{\gamma }_0}$, a on ${\gamma }_0$ és l'azimut del círcul màxim en el creuament de l'equador cap al nort, i $\sigma$ és l'àngul paramètric en la elipse.

En la solució de les geodèsiques sobre un elipsoide es porta a terme una assignació similar a una esfera auxiliar. Les diferències són que l'azimut $\alpha$ es conserva en l'assignació, mentres que la llongitut $\lambda$ s'assigna a una llongitut esfèrica $\omega$. La elipse equivalent utilisada per als càlculs de distància té semiejes $b\sqrt{1+e{\text{'}}^2{\cos }^2{\alpha }_0}$ i $b$).