Curves en secció de la Terra

Archiu:Ellipsoid-ebener-Schnitt.svg

Secció plana d'un elipsoide

Les rutes sobre una secció terrestre són curves planes definides per l'intersecció d'un elipsoide de referència i un pla (seccions elipsoidales planes). Alguns eixemples comuns inclouen la gran elipse (que conté el centre de l'elipsoide) i les seccions normals (que contenen una direcció normal de l'elipsoide). Les rutes de la secció terrestre són útils com a solucions aproximades de problemes geodèsics, com el càlcul directe i invers de distàncies geogràfiques. La solució rigorosa dels problemes geodèsics implica la determinació de les curvas conegudes com llínees geodèsiques.

Problema invers

El problema invers de les seccions terrestres és: daus dos punts, ___MATH_0___ i ___MATH_1___ en la superfície de l'elipsoide de referència, trobar la llongitut, ___MATH_2___, de l'arc més curt d'una secció de l'esferoide des de ___MATH_3___ fins a ___MATH_4___ i també trobar els acimutes d'eixida i arribada (àngul des del nort verdader) d'eixa curva, ___MATH_5___ i ___MATH_6___. La figura de la dreta ilustra la notació utilisada ací. Sean ___MATH_7___ la latitut geodèsica i ___MATH_8___ la llongitut ___MATH_9___ (k=1,2). Este problema es resol millor utilisant geometria analítica en coordenades cartesianes centrades i fixes en la Terra (ECEF). Sean ___MATH_10___ i ___MATH_11___ les coordenades ECEF dels dos punts, calculades utilisant la transformació geodèsica a ECEF analisada en l'artícul conversió de coordenades geogràfiques.

Archiu:Geodetic problem on an ellipsoid.svg

Esta image ilustra la notació utilisada per als problemes geodèsics analisats en l'artícul

Pla de secció

Per a definir el pla de secció, se selecciona qualsevol tercer punt ___MATH_12___ que no estiga en la llínea de ___MATH_13___ a ___MATH_14___. Elegir que ___MATH_15___ estiga en la normal de la superfície en ___MATH_16___ definirà la secció normal en ___MATH_17___. Si ___MATH_18___ és l'orige, llavors la secció de la Terra és una gran elipse (l'orige seria colineal en 2 punts antípodes, per lo que es deu utilisar un punt diferent en eixe cas). Ya que hi ha infinites opcions per a ___MATH_19___, el problema anterior és realment una classe de problemes (un per a cada pla). Siga ___MATH_20___. Per a posar l'equació del pla en la forma estàndar, ___MATH_21___, a on ___MATH_22___, es requerixen les components d'un vector unitari, ___MATH_23___, normal al pla de secció. Estes components poden calcular-se de la següent manera: el vector de ___MATH_24___ a ___MATH_25___ és ___MATH_26___, i el vector de ___MATH_27___ a ___MATH_28___ és ___MATH_29___. Per lo tant, ___MATH_30___), a on ___MATH_31___ és el vector unitari en la direcció de ___MATH_32___. La convenció d'orientació utilisada ací és que ___MATH_33___ apunta a l'esquerra de la trayectòria. Si este no és el cas, es deu redefinir ___MATH_34___. Finalment, el paràmetro d per al pla pot calcular-se utilisant el producte escalar de ___MATH_35___ en un vector des de l'orige fins a qualsevol punt en el pla, com ___MATH_36___, és dir, ___MATH_37___. L'equació del pla (en forma vectorial) és, per lo tant, ___MATH_38___, a on ___MATH_39___ és la posició de ___MATH_40___.

Azimut

L'examen de transformació de coordenades ENU a ECEF revela que les coordenades ECEF d'un vector unitari que apunta a l'est en qualsevol punt de l'elipsoide són: ___MATH_41___, un vector unitari que apunta al nort és ___MATH_42___ i un vector unitari que apunta cap a dalt és ___MATH_43___. Un vector tangente a la trayectòria és:

___MATH_44___, per lo que la component este de ___MATH_45___ és ___MATH_46___ i la component nort és ___MATH_47___. Per lo tant, l'azimut es pot obtindre a partir de la funció arcotangente de dos arguments, ___MATH_48___. S'utilisa este método tant en ___MATH_49___ com en ___MATH_50___ per a obtindre ___MATH_51___ i ___MATH_52___.

Elipse de la secció

L'intersecció (no trivial) d'un pla i un elipsoide és una elipse. Per lo tant, la llongitut de l'arc, ___MATH_53___, en la trayectòria de secció de ___MATH_54___ a ___MATH_55___ és una integral elíptica que es pot calcular en qualsevol precisió desijada utilisant una série truncada o una integració numèrica. Abans de poder fer açò, es deu definir la elipse i calcular els llímits d'integració. Siga ___MATH_56___ l'elipsoide donat i ___MATH_57___.

Si ___MATH_58___, llavors la secció és un círcul horisontal de ràdio ___MATH_59___, que no té solució si ___MATH_60___.

Si ___MATH_61___, Gilbertson va demostrar que les coordenades ECEF del centre de la elipse són ___MATH_62___, a on ___MATH_63___, el semieje major és ___MATH_64___, en la direcció ___MATH_65___, i el semieje menor és ___MATH_66___, en la direcció ___MATH_67___, que no té solució si ___MATH_68___.

Llongitut de l'arc

L'artícul mencionat anteriorment proporciona la deducció d'una fòrmula per a calcular la llongitut d'arc que involucra l'àngul central i les potències de ___MATH_69___ en precisió milimétrica, a on ___MATH_70___. Eixa fòrmula de llongitut d'arc pot reorganisar-se i posar-se en la forma: ___MATH_71___, a on ___MATH_72___ i els coeficients són

___MATH_73___

___MATH_74___

___MATH_75___

___MATH_76___

Per a calcular l'àngul central, siga ___MATH_77___ qualsevol punt en la elipse de la secció i ___MATH_78___. Llavors, ___MATH_79___ és un vector des del centre de la elipse fins al punt. L'àngul central ___MATH_80___ és l'àngul des del semieje major fins a ___MATH_81___. Si és ___MATH_82___, es té que ___MATH_83___. D'esta manera, s'obtenen ___MATH_84___ i ___MATH_85___.

Per un atre costat, és possible usar fòrmules d'arc meridiano en el cas més general, sempre que s'usen els paràmetros de la elipse de la secció en lloc dels paràmetros de l'esferoide. Una d'eixes séries ràpidament convergents es dona amprant térmens de la latitut paramètrica. Si s'usa ___MATH_86___ per a denotar l'excentricitat de l'esferoide, és dir, ___MATH_87___, llavors ___MATH_88___ ≤ ___MATH_89___ ≅ 1,8i−9. De manera similar, el tercer aplanamiento de la elipse de la secció està llimitat pel valor corresponent per a l'esferoide, i per a l'esferoide es té que ___MATH_90___ ≅ 4,4⁻⁹ i ___MATH_91___ ≅ 7,3 x10^-12. Per lo tant, pot ser suficient ignorar els térmens més allà de ___MATH_92___ en la série de latitut paramètrica. Per a aplicar ___MATH_93___ en el context actual es requerix convertir l'àngul central a l'àngul paramètric utilisant ___MATH_94___, i utilisant la secció del tercer aplanamiento de la elipse. Qualsevol que siga el método que s'use, es deu anar en conte en utilisar ___MATH_95___ i ___MATH_96___ o ___MATH_97___ i ___MATH_98___ per a assegurar que s'use l'arc més curt que conecta els dos punts.

Problema directe

Per al problema directe, es donen ___MATH_99___, la distància ___MATH_100___ i l'azimut d'eixida ___MATH_101___; i es deuen trobar ___MATH_102___ i l'azimut d'arribada ___MATH_103___.

Pla de la secció

La resposta a este problema depén de l'elecció de ___MATH_104___, és dir, del tipo de secció. Observe's que ___MATH_105___ no deu estar en l'interval {___MATH_106___} (de lo contrari, el pla seria tangente a la Terra en ___MATH_107___, per lo que no s'obtindria cap trayectòria). Una volta feta eixa elecció i considerant l'orientació, es deu procedir de la següent manera. Construir el vector tangente en ___MATH_108___, ___MATH_109___, a on ___MATH_110___ i ___MATH_111___ són vectores unitaris que apunten al nort i a l'est (respectivament) en ___MATH_112___. El vector normal ___MATH_113___), junt en ___MATH_114___ definix el pla. En atres paraules, la tangente pren el lloc de la corda, ya que el destí és desconegut.

Localisar el punt d'arribada

Este és un problema 2-d en l'interval {___MATH_115___}, que es resol en l'ajuda de la fòrmula de llongitut d'arc anterior. Si es dona la llongitut d'arc, ___MATH_116___, llavors el problema és trobar el canvi corresponent en l'àngul central ___MATH_117___, de modo que es puguen calcular ___MATH_118___ i la posició. Suponent que es té una série que permet calcular ___MATH_119___, llavors lo que es busca ara és ___MATH_120___. L'inversa de la série de llongitut d'arc de l'àngul central anterior es pot trobar en la pàgina 8a de Rapp, Vol. 1, que a la seua volta fa referència a Ganshin. Una alternativa a l'us de la série inversa és utilisar el método de Newton d'aproximacions successives a ___MATH_121___. El problema invers del meridiano per a l'elipsoide proporciona l'inversa de la série de llongitut d'arc de Bessel en térmens de l'àngul paramètric. Abans de poder utilisar la série inversa, es deu utilisar la série d'ànguls paramètrics per a calcular la llongitut de l'arc des del semieje major fins a ___MATH_122___, ___MATH_123___. Una volta que es coneix ___MATH_124___, s'aplica la fòrmula inversa per a obtindre ___MATH_125___, a on ___MATH_126___. Les coordenades rectangulars en el pla de secció són ___MATH_127___. Per lo tant, es pot calcular un vector ECEF utilisant ___MATH_128___. Finalment, es calculen les coordenades geogràfiques per mig de ___MATH_129___ utilisant l'algoritme de Bowring de 1985, o l'algoritme detallat en l'artícul dedicat a la conversió de coordenades geogràfiques.

Azimut

L'azimut es pot obtindre per mig del mateix método que l'utilisat en el problema indirecte: ___MATH_130___ i ___MATH_131___.